設函數(shù)f（x）滿足f（x+y）=f（x）+f（y）+xy（x+y），又f'（0）=1，則函數(shù)f（x）的解析式為
f(x)=x+
1
3
x3
f(x)=x+
1
3
x3
．
分析：可令y=1可得f（x+1）-f（x）=f（1）+x2+x然后分別賦予x為1，2，3…，（x-1）將這（x-1）個式子相加再結合12+22+…+（x-1）2=
x(x-1)(2x-1)
6
可得f（x）=xf（1）+
x3-x
3
下面只需求出f（1）即可求解而f'（0）=1，兩邊求導即可求出f（1）=
4
3
再代入即可求出f（x）．
解答：解：∵f（x+y）=f（x）+f（y）+xy（x+y）
∴令y=1則f（x+1）-f（x）=f（1）+x2+x
∴f（2）-f（1）=f（1）+12+1
f（3）-f（2）=f（1）+22+2
…
f（x）-f（x-1）=f（1）+（x-1）2+（x-1）
∴將上面（x-1）個式子相加可得f（x）-f（1）=（x-1）f（1）+[12+22+…+（x-1）2]+（1+2+3+…+（x-1））
∴f（x）=xf（1）+
x(x-1)(2x-1)
6
+
x(x-1)
2
=xf（1）+
x3-x
3

∴f′（x）=f（1）+
x3-x
3

∵f'（0）=1
∴f（1）-
1
3
=1
∴f（1）=
4
3

∴f（x）=
4x
3
+
x3-x
3
=
1
3
x3+x
故答案為f（x）=
1
3
x3+x
點評：本題主要考查了函數(shù)解析式的求解，由于用到了利用遞推公式和疊加法以及12+22+…+（x-1）2=
x(x-1)(2x-1)
6
①再加上導數(shù)的應用，綜合性較強難度較大．解題的關鍵是利用y=1得出f（x+1）-f（x）=f（1）+x2+x再利用疊加法結合公式①得出f（x）=xf（1）+
x3-x
3
！
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：對任意x∈R，都有f（x）=f（2-x）成立，且當x∈（-∞，1）時，（x-1）f′（x）＜0（其中f'（x）為f（x）的導數(shù)）．設a=f(0)，b=f(
1
2
)，c=f(3)，則a、b、c三者的大小關系是（　�。�
A、a＜b＜c
B、c＜a＜b
C、c＜b＜a
D、b＜c＜a

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）滿足f(n+1)=
2f(n)+n
2
（n∈N*），且f（1）=2，則f（20）為（　�。�
A、95B、97
C、105D、192

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）滿足f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），求證：
（1）f（0）=0；
（2）f（3）=3f（1）；
（3）f(
1
2
)=
1
2
f(1)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）滿足：對任意的x1，x2∈R，都有（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0，則f（-3）與f（-π）兩個函數(shù)值較大的是（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：單選題

設函數(shù)f（x）的定義域為R，若存在常數(shù)M＞0，使|f（x）|≤M|x|對一切實數(shù)都成立，則稱函數(shù)f（x） 為“倍約束函數(shù)”．給出下列函數(shù)，其中是“倍約束函數(shù)”的為


  1. A.
    f（x）=2
  2. B.
    f（x）=數(shù)學公式
  3. C.
    f（x）=x2
  4. D.
    f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足對一切實數(shù)x1，x2，均有|f（x1）-f（x2）|≤2|x1-x2|成立

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