已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:對(duì)任意x∈R,都有f(x)=f(2-x)成立,且當(dāng)x∈(-∞,1)時(shí),(x-1)f′(x)<0(其中f'(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù)).設(shè)a=f(0),b=f(
1
2
),c=f(3)
,則a、b、c三者的大小關(guān)系是(  )
A、a<b<c
B、c<a<b
C、c<b<a
D、b<c<a
分析:由題意得對(duì)任意x∈R,都有f(x)=f(2-x)成立,得到函數(shù)的對(duì)稱軸為x=1,所以f(3)=f(-1).由當(dāng)x∈(-∞,1)時(shí),(x-1)f′(x)<0,得f′(x)>0,所以函數(shù)f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞增.比較自變量的大小即可得到函數(shù)值的大。
解答:解:由題意得:對(duì)任意x∈R,都有f(x)=f(2-x)成立,
所以函數(shù)的對(duì)稱軸為x=1,所以f(3)=f(-1).
因?yàn)楫?dāng)x∈(-∞,1)時(shí),(x-1)f′(x)<0,
所以f′(x)>0,
所以函數(shù)f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞增.
因?yàn)?1<0<
1
2
,
所以f(-1)<f(0)<f(
1
2
),即f(3)<f(0)<f(
1
2
),
所以c<a<b.
故選B.
點(diǎn)評(píng):解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握函數(shù)的性質(zhì)如奇偶性、單調(diào)性、周期性、對(duì)稱性等,函數(shù)的性質(zhì)一直是各種考試考查的重點(diǎn)內(nèi)容.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定義在R上的函數(shù)y=f(x)滿足下列條件:
①對(duì)任意的x∈R都有f(x+2)=f(x);
②若0≤x1<x2≤1,都有f(x1)>f(x2);
③y=f(x+1)是偶函數(shù),
則下列不等式中正確的是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:f(x)=
f(x-1)-f(x-2),x>0
log2(1-x),       x≤0
  則:
①f(3)的值為
0
0

②f(2011)的值為
-1
-1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=-f(x),且x∈(-1,1]時(shí)f(x)=
1,(-1<x≤0)
-1,(0<x≤1)
,則f(3)=(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定義在R上的函數(shù)f(x)是偶函數(shù),對(duì)x∈R都有f(2+x)=f(2-x),當(dāng)f(-3)=-2時(shí),f(2013)的值為( 。
A、-2B、2C、4D、-4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定義在R上的函數(shù)f(x),對(duì)任意x∈R,都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,若函數(shù)y=f(x+1)的圖象關(guān)于直線x=-1對(duì)稱,則f(2013)=(  )
A、0B、2013C、3D、-2013

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