Question

函數(shù)y=f（x）（x∈R）滿足f（1）=l，f′（x）＜

1

2

，則不等式f（x）＜

x

2

+

1

2

的解集為

 

．

Answer 1

考點：其他不等式的解法

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：所求解的不等式是抽象不等式，是與函數(shù)有關(guān)的不等式，函數(shù)的單調(diào)性和不等關(guān)系最密切．由f′（x）＜

1

2

，構(gòu)造單調(diào)遞減函數(shù)h（x）=f（x）-

1

2

x，運用單調(diào)遞減性求解即可．

解答： 解：∵f′（x）＜

1

2

，
∴f′（x）-

1

2

＜0，
設(shè)h（x）=f（x）-

1

2

x，
則h′（x）=f′（x）-

1

2

＜0，
∴h（x）是R上的減函數(shù)，且h（1）=f（1）-

1

2

=1-

1

2

=

1

2

．
不等式f（x）＜

x

2

+

1

2

，
即為f（x）-

1

2

x＜

1

2

，
即h（x）＜h（1），
得x＞1，
∴原不等式的解集為（1，+∞）．
故答案為：（1，+∞）．

點評：本題考查抽象不等式求解，關(guān)鍵是利用函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)已知條件和所要解的不等式，找到合適的函數(shù)作載體是關(guān)鍵．