【題目】如圖,某市有一條東西走向的公路l,現(xiàn)欲經(jīng)過公路l上的O處鋪設(shè)一條南北走向的公路m,在施工過程中發(fā)現(xiàn)O處的正北方向1百米的A處有一漢代古跡,為了保護古跡,該市委決定以A為圓心,1百米為半徑設(shè)立一個圓形保護區(qū),為了連通公路l,m,欲再新建一條公路PQ,點P,Q分別在公路l,m上(點P,Q分別在點O的正東、正北方向),且要求PQ與圓A相切.
(1)當(dāng)點P距O處2百米時,求OQ的長;
(2)當(dāng)公路PQ的長最短時,求OQ的長.
【答案】(1)(2)
【解析】
試題分析:(1)根據(jù)題意,建立直角坐標(biāo)系,然后利用直線與圓的相切列出關(guān)于關(guān)于q的方程解之即可;
(2)利用截距式方程給出直線的方程,然后利用直線與圓相切找到兩個待定系數(shù)間的關(guān)系,再利用勾股定理將PQ表示成關(guān)于q的函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性求其最值即可
試題解析:如圖,以O(shè)為原點、直線l,m分別為x,y軸建立平面直角坐標(biāo)系.
設(shè)P(p, 0),Q(0, q)且PQ與圓A相切于點B,連結(jié)AB,以1百米為單位長度,則圓A的方程為
(1)由題意可設(shè)直線PQ的方程為,
即
因為PQ與圓A相切,
所以,解得,
故當(dāng)點P與O處2百米時,OQ的長為百米.
(2)設(shè)直線PQ的方程為,
即.
因為PQ與圓A相切,
所以,化簡得
在Pt△POQ中,.
令
則
當(dāng)時,,即f(q)在(上單調(diào)遞減;
當(dāng)時,,即f(q)在上單調(diào)遞增.
所以f(q)在時取得最小值,
故當(dāng)公路PQ的長最短時,OQ的長為百米.
答:(1)當(dāng)點P距O處2百米時,OQ的長為百米;(2)當(dāng)公路PQ的長最短時,OQ的長為百米.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)|θ|< ,n為正整數(shù),數(shù)列{an}的通項公式an=sin tannθ,其前n項和為Sn
(1)求證:當(dāng)n為偶函數(shù)時,an=0;當(dāng)n為奇函數(shù)時,an=(﹣1) tannθ;
(2)求證:對任何正整數(shù)n,S2n= sin2θ[1+(﹣1)n+1tan2nθ].
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方體的棱長為 1, 為的中點, 為線段上的動點,過點A、P、Q的平面截該正方體所得的截面記為.則下列命題正確的是__________(寫出所有正確命題的編號).
①當(dāng)時, 為四邊形;②當(dāng)時, 為等腰梯形;③當(dāng)時, 為六邊形;④當(dāng)時, 的面積為.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校高二年級進(jìn)行了百科知識大賽,為了了解高二年級900名同學(xué)的比賽情況,現(xiàn)在甲、乙兩個班級各隨機抽取了10名同學(xué)的成績,比賽成績滿分為100分,80分以上可獲得二等獎,90分以上可以獲得一等獎,已知抽取的兩個班學(xué)生的成績(單位:分)數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖1所示:
(1)比較兩組數(shù)據(jù)的分散程度(只需要給出結(jié)論),并求出甲組數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖2中所示的值;
(2)現(xiàn)從兩組數(shù)據(jù)中獲獎的學(xué)生里分別隨機抽取一人接受采訪,求被抽中的甲班學(xué)生成績高于乙班學(xué)生成績的概率.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)在點處的切線方程;
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3)若存在,使得(是自然對數(shù)的底數(shù)),求實數(shù)的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】心理學(xué)家分析發(fā)現(xiàn)視覺和空間能力與性別有關(guān),某數(shù)學(xué)興趣小組為了驗證這個結(jié)論,從興趣小組中按分層抽樣的方法抽取50名同學(xué)(男30女20),給所有同學(xué)幾何題和代數(shù)題各一題,讓各位同學(xué)自由選擇一道題進(jìn)行解答.選題情況如下表:(單位:人)
(Ⅰ)能否據(jù)此判斷有97.5%的把握認(rèn)為視覺和空間能力與性別有關(guān)?
(Ⅱ)經(jīng)過多次測試后,甲每次解答一道幾何題所用的時間在5—7分鐘,乙每次解答一道幾何題所用的時間在6—8分鐘,現(xiàn)甲、乙各解同一道幾何題,求乙比甲先解答完的概率.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,橢圓的左、右焦點分別為, 也是拋物線的焦點,點為與在第一象限的交點,且.
(1)求的方程;
(2)平面上的點滿足,直線,且與交于兩點,若,求直線的方程.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x-1+ (a∈R,e為自然對數(shù)的底數(shù)).且曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線平行于x軸.
(1)求a的值;
(2)求函數(shù)f(x)的極值.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com