Question

二次函數(shù)y=ax²+bx+c的系數(shù)a、b、c在集合{-3,-2,-1,0,1,2,3,4}中選取3個(gè)不同的值,則

(1)可確定多少條不同的拋物線?

(2)可確定坐標(biāo)原點(diǎn)在拋物線內(nèi)部的拋物線有多少條?

(3)(理)a、b、c∈N,則可確定與x軸有公共點(diǎn)的拋物線有多少條?

Answer 1

解:(1)∵一元二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)不為0,

∴共可組成=294條不同的拋物線.

(2)由圖形特征分析:a＞0,開口向上,坐標(biāo)原點(diǎn)在內(nèi)部f(0)=c＜0;a＜0,開口向下,原點(diǎn)在內(nèi)部f(0)=c＞0.所以對(duì)于拋物線y=ax²+bx+c來講,原點(diǎn)在其內(nèi)部af(0)=ac＜0,則確定拋物線時(shí),可先定一正一負(fù)的a和c,再確定b.故滿足題設(shè)的拋物線共有=144條.

(3)依題意,a、b、c只能在0、1、2、3、4中選取,一元二次方程ax²+bx+c=0有實(shí)根,

∴Δ=b²-4ac≥0.

當(dāng)c=0時(shí),Δ=b²≥0,滿足條件的方程有=12個(gè);

當(dāng)c≠0時(shí),由a≠0知b≠0,否則,

若b=0,則Δ=-4ac＜0,不合題意.

若b=4,則b²=16,由b²-4ac≥0,知a、c有4種選擇:

a=1,c=2或a=2,c=1或a=1,c=3或a=3,c=1;

若b=3,則b²=9,由b²-4ac≥0,知a、c有2種選擇:

a=1,c=2或a=2,c=1;

若b=2或1時(shí),滿足條件的a、c不存在.

故滿足題設(shè)條件的拋物線共有12+4+2=18條.