【題目】如圖,在直角梯形ABCD中,AD∥BC, AB⊥BC, BD⊥DC,點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn),將△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,連接AE, AC, DE,得到如圖所示的空間幾何體.
(1)求證:AB⊥平面ADC;
(2)若AD=1,AB=,求點(diǎn)B到平面ADE的距離.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析.
(2) .
【解析】分析:(1)證明DC⊥AB,AD⊥AB,即可得到AB⊥平面ADC.
(2)因?yàn)?/span>AB=,AD=1,所以BD=,依題意△ABD∽△DCB,得到CD=,利用等體積法即可.
詳解:(1)因?yàn)槠矫?/span>ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,
又BD⊥DC,DC平面BCD,所以DC⊥平面ABD.
因?yàn)?/span>AB平面ABD,所以DC⊥AB.
又AD⊥AB,DC∩AD=D,AD,DC平面ADC,所以AB⊥平面ADC.
(2)因?yàn)?/span>AB=,AD=1,所以BD=.
依題意△ABD∽△DCB,所以=,即=.
所以CD=.
故BC=3.
由于AB⊥平面ADC,AB⊥AC,E為BC的中點(diǎn),
所以AE==.
同理DE==.
所以S△ADE=×1×=.
因?yàn)?/span>DC⊥平面ABD,
所以VA—BCD=CD·S△ABD=.
設(shè)點(diǎn)B到平面ADE的距離為d,
則d·S△ADE=VB—ADE=VA—BDE=VA—BCD=,
所以d=,即點(diǎn)B到平面ADE的距離為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】蘭天購(gòu)物廣場(chǎng)某營(yíng)銷部門隨機(jī)抽查了100名市民在2018年國(guó)慶長(zhǎng)假期間購(gòu)物廣場(chǎng)的消費(fèi)金額,所得數(shù)據(jù)如表,已知消費(fèi)金額不超過(guò)3千元與超過(guò)3千元的人數(shù)比恰為.
消費(fèi)金額(單位:千元) | 人數(shù) | 頻率 |
8 | 0.08 | |
12 | 0.12 | |
8 | 0.08 | |
7 | 0.07 | |
合計(jì) | 100 | 1.00 |
(1)試確定,,,的值,并補(bǔ)全頻率分布直方圖(如圖);
(2)用分層抽樣的方法從消費(fèi)金額在、和的三個(gè)群體中抽取7人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查,則各小組應(yīng)抽取幾人?若從這7人中隨機(jī)選取2人,則此2人來(lái)自同一群體的概率是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在四棱錐中,底面為矩形,測(cè)棱底面,,點(diǎn)是的中點(diǎn),作交于.
(Ⅰ)求證:平面平面.
(Ⅱ)求證:平面.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓C: (a>b>0),四點(diǎn)P1(1,1),P2(0,1),P3(–1, ),P4(1, )中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.
(1)求C的方程;
(2)設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與C相交于A,B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1,證明:l過(guò)定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)g(x)的圖象,則函數(shù)g(x)具有性質(zhì)_____.(填入所有正確結(jié)論的序號(hào))
①最大值為,圖象關(guān)于直線對(duì)稱;
②圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;
③最小正周期為π;
④圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】將函數(shù)f(x)=2cos2x的圖象向右平移 個(gè)單位后得到函數(shù)g(x)的圖象,若函數(shù)g(x)在區(qū)間[0, ]和[2a, ]上均單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.[ , ]
B.[ , ]
C.[ , ]
D.[ , ]
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn),焦點(diǎn)F與圓的圓心重合.
(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)定點(diǎn),當(dāng)P點(diǎn)在C上何處時(shí),的值最小,并求最小值及點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)若弦過(guò)焦點(diǎn),求證:為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在以為頂點(diǎn)的多面體中, 平面, 平面, .
(1)請(qǐng)?jiān)趫D中作出平面,使得,且,并說(shuō)明理由;
(2)求直線和平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)y=f(x)是R上的偶函數(shù),當(dāng)x1 , x2∈(0,+∞)時(shí),都有(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]<0.設(shè) ,則( )
A.f(a)>f(b)>f(c)
B.f(b)>f(a)>f(c)
C.f(c)>f(a)>f(b)
D.f(c)>f(b)>f(a)
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