Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的圖象相鄰的兩條對稱軸之間的距離為

π

2

，其中的一個對稱中心是（

π

3

，0）且函數(shù)的一個最小值為-2．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式，并求當(dāng)x∈[0，

π

6

]時(shí)f（x）的值域；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（

π

12

，b）上有唯一的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的求值,解三角形

分析：（1）由最小值求得得A，由相鄰兩條對稱軸之間的距離求得函數(shù)的最小正周期，繼而利用周期公式求得得ω，把點(diǎn)(

π

3

，0)在代入三角函數(shù)解析式求得φ得到函數(shù)解析式，進(jìn)而利用三角函數(shù)的性質(zhì)求得其值域．
（2）利用三角函數(shù)圖象和基本性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的周期獲得答案．

解答： 解：（1）∵最小值為-2，
∴A=2．
∵相鄰兩條對稱軸之間的距離為

π

2

，
∴

T

2

=

π

2

，即T=π，
∴ω=

2π

T

=

2π

π

=2．
∵點(diǎn)(

π

3

，0)在圖象上
∴2sin(2×

π

3

+ϕ)=0，
即sin(

2π

3

+ϕ)=0，
∴

2π

3

+ϕ=kπ（k∈Z），
∴φ=kπ-

2π

3

（k∈Z）．
又ϕ∈(0，

π

2

)，
∴φ=

π

3

，
∴f（x）=2sin(2x+

π

3

)；    
∵x∈[0，

π

6

]，
∴2x+

π

3

∈[

π

3

，

2π

3

]，
當(dāng)2x+

π

3

=

π

3

，即x=0時(shí)，f（x）取得最大值0，
當(dāng)2x+

π

3

=

7π

12

，即x=

π

8

時(shí)，f（x）取得最小值-2，
故f（x）的值域?yàn)閇-2，0]．                        
（2）當(dāng)x=

π

12

時(shí)，f（

π

12

）=2sin（

π

6

+

π

3

）=2，
由函數(shù)f（x）在一個周期內(nèi)的圖象可知，f（x）要在區(qū)間(

π

12

，b)上有唯一零點(diǎn)，b最大可取

5π

6

．
∴b的最大值為

5π

6

．

點(diǎn)評：本題主要考查了三角函數(shù)圖象和性質(zhì)．考查了學(xué)生分析問題的能力．