Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，過F₂作直線l與橢圓C交于點(diǎn)M、N．
（1）若橢圓C的離心率為

1

2

，右準(zhǔn)線的方程為x=4，M為橢圓C上頂點(diǎn)，直線l交右準(zhǔn)線于點(diǎn)P，求

1

PM

+

1

PN

的值；
（2）當(dāng)a²+b²=4時(shí)，設(shè)M為橢圓C上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，直線l交y軸于點(diǎn)Q，F(xiàn)₁M⊥F₁Q，證明：點(diǎn)M在定直線上．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用橢圓C的離心率為

1

2

，右準(zhǔn)線的方程為x=4，建立方程，求出幾何量，可得橢圓C的方程線l的方程為y=-

3

(x-1)，令x=4，可得P(4，-3

3

)，再求出M，N的坐標(biāo)，即可，求

1

PM

+

1

PN

的值；
（2）直線l的方程為y=

y0

x0-c

(x-c)，令x=0，可得Q(0，

-cy0

x0-c

)，F(xiàn)₁M⊥F₁Q可知y02=x02-c2，結(jié)合橢圓的方程，求出M的坐標(biāo)，即可證明點(diǎn)M在定直線上．

解答： （1）解：設(shè)F₂（c，0），則

c a = 1 2 a2 c =4

，解得

a=2 c=1

，
所以橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1，…（2分）
則直線l的方程為y=-

3

(x-1)，令x=4，可得P(4，-3

3

)，
聯(lián)立

y=- 3 (x-1) x2 4 + y2 3 =1

，得

5x2

4

-2x=0，所以M(0，

3

)，N(

8

5

，-

3 3

5

)，…（4分）
所以

1

PM

+

1

PN

=

1

(0-4)2+( 3 +3 3 )2

+

1

( 8 5 -4)2+(- 3 3 5 +3 3 )2

=

1

8

+

5

24

=

1

3

．…（6分）
（2）證明：設(shè)M（x₀，y₀）（x₀＞0，y₀＞0），F(xiàn)₂（c，0），則直線l的方程為y=

y0

x0-c

(x-c)，
令x=0，可得Q(0，

-cy0

x0-c

)，…（8分）
由F₁M⊥F₁Q可知，kF1M•kF1Q=

y0

x0+c

•

-cy0 x0-c

c

=-1，整理得y02=x02-c2，
又c²=a²-b²=2a²-4，
聯(lián)立

y02=x02-(2a2-4) x02 a2 + y02 4-a2 =1

，解得

x0= a2 2 y0=2- a2 2

，…（14分）
所以點(diǎn)M在定直線x+y=2上．                   …（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，直線和直線、直線和橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，考查數(shù)形結(jié)合的思想、推理能力和計(jì)算能力．