已知函數(shù)定義在區(qū)間上,,且當(dāng)時(shí),恒有.又?jǐn)?shù)列滿(mǎn)足

(Ⅰ)證明:上是奇函數(shù);

(Ⅱ)求的表達(dá)式;

(III)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和,若對(duì)恒成立,求的最小值.

 

【答案】

(Ⅰ)見(jiàn)解析(Ⅱ)(III)m的最小值為7

【解析】本試題主要是考查了函數(shù)與數(shù)列的知識(shí)點(diǎn)的交匯處的運(yùn)用。

(1)運(yùn)用賦值法,令x=y=0時(shí),則由已知有,

可解得f (0)=0.

再令x=0,y∈(-1,1),則有,即,

∴  f (x)是(-1,1)上的奇函數(shù)

(2)令x=an,y= -an,于是

由已知得2f (an)=f (an+1),

從而得到 數(shù)列{f(an)}是以f(a1)=為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列.

 

(3)由(II)得f(an+1)=-2n,于.

然后求解和式,得到結(jié)論。

解:(Ⅰ)證明:令x=y=0時(shí),則由已知有,

可解得f (0)=0.

再令x=0,y∈(-1,1),則有,即

∴  f (x)是(-1,1)上的奇函數(shù).                                            4分

(Ⅱ)令x=an,y= -an,于是,

由已知得2f (an)=f (an+1),

,

∴ 數(shù)列{f(an)}是以f(a1)=為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列.

                                                8分

(III)由(II)得f(an+1)=-2n,于.

∴ Tn= b1+ b2+ b3+…+ bn

,

.

.             9分

于是

.

∴ k(n+1)<k(n),即k(n)在N*上單調(diào)遞減,         12分

∴ k(n)max=k(1)=,

即m≥.

∵ m∈N*,

∴ m的最小值為7.               14分

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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已知函數(shù)定義在區(qū)間上,,且當(dāng)時(shí),

恒有.又?jǐn)?shù)列滿(mǎn)足.

(1)證明:上是奇函數(shù);

(2)求的表達(dá)式;

(3)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和,若對(duì)恒成立,求的最小值.

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(14分)已知函數(shù)定義在區(qū)間上,且。又、是其圖像上任意兩點(diǎn)。

求證:的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖形;

設(shè)直線(xiàn)的斜率為,求證:;

,求證:。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(本題滿(mǎn)分18分)本題共有3個(gè)小題,第1小題滿(mǎn)分3分,第2小題滿(mǎn)分8分,第3小題滿(mǎn)分7分.

已知函數(shù)定義在區(qū)間上,,對(duì)任意,

恒有成立,又?jǐn)?shù)列滿(mǎn)足,

設(shè)

(1)在內(nèi)求一個(gè)實(shí)數(shù),使得;

(2)證明數(shù)列是等比數(shù)列,并求的表達(dá)式和的值;

(3)設(shè),是否存在,使得對(duì)任意 恒成立?若存在,求出的最小值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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(本題滿(mǎn)分18分)本題共有3個(gè)小題,第1小題滿(mǎn)分3分,第2小題滿(mǎn)分8分,第3小題滿(mǎn)分7分.

已知函數(shù)定義在區(qū)間上,,對(duì)任意

恒有成立,又?jǐn)?shù)列滿(mǎn)足

設(shè)

(1)在內(nèi)求一個(gè)實(shí)數(shù),使得

(2)證明數(shù)列是等比數(shù)列,并求的表達(dá)式和的值;

(3)是否存在,使得對(duì)任意,都有成立?若存在,求出的最小值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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