Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝ln x＋＋ax(a是實數(shù))，g(x)＝＋1.

(1)當(dāng)a＝2時，求函數(shù)f(x)在定義域上的最值；

(2)若函數(shù)f(x)在[1，＋∞)上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；

(3)是否存在正實數(shù)a滿足：對于任意x1∈[1,2]，總存在x2∈[1,2]，使得f(x1)＝g(x2)成立？ 若存在，求出a的取值范圍，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）f(x)在x＝處取到最小值，最小值為3－ln 2；無最大值．（2）∪[0，＋∞)．（3）不存在

【解析】試題分析：（1）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)在定義域上零點，最后判斷端點值及導(dǎo)函數(shù)零點對應(yīng)函數(shù)值的大小，確定最值.（2）即研究不等式恒成立或恒成立，利用變量分離得 或，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得，即得的取值范圍；（3）即等價于研究的值域包含于值域是否成立，由（2）可得在[1,2]上是單調(diào)遞增函數(shù)，即，根據(jù)導(dǎo)數(shù)易得在[1,2]上是單調(diào)遞減函數(shù)，即，因此轉(zhuǎn)化為求的解，由于無解，所以不存在.

試題解析：解：(1)當(dāng)a＝2時，f(x)＝ln x＋＋2x，x∈(0，＋∞)，

f′(x)＝－＋2＝＝，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝.

當(dāng)x∈時，f′(x)<0；當(dāng)x∈時，f′(x)>0，

所以f(x)在x＝處取到最小值，最小值為3－ln 2；無最大值．

(2)f′(x)＝－＋a＝，x∈[1，＋∞)，

顯然a≥0時，f′(x)≥0，且不恒等于0，

所以函數(shù)f(x)在[1，＋∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)，符合要求．

當(dāng)a<0時，令h(x)＝ax2＋x－1，當(dāng)x―→＋∞時，h(x)―→－∞，

所以函數(shù)f(x)在[1，＋∞)上只能是單調(diào)遞減函數(shù)．

所以Δ＝1＋4a≤0或解得a≤－.

綜上：滿足條件的a的取值范圍是∪[0，＋∞)．

(3)不存在滿足條件的正實數(shù)a.由(2)知，a >0時f(x)在[1，＋∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)，

所以f(x)在[1,2]上是單調(diào)遞增函數(shù)．所以對于任意x1∈[1,2]，

f(1) ≤f(x1)≤f(2)，即f(x1)∈.

g′(x)＝，當(dāng)x∈[1,2]時，g′(x)≤0，

所以g(x)在[1,2]上是單調(diào)遞減函數(shù)．所以當(dāng)x2∈[1,2]時，g(x2)∈.

若對于任意x1∈[1,2]，總存在x2∈[1,2]，使得f(x1)＝g(x2)成立，

則，此時a無解．

所以不存在滿足條件的正實數(shù)a.