在直角坐標系xOy中,直線l的方程為x-y+4=0,
曲線C的參數(shù)方程為 .
(Ⅰ)已知在極坐標(與直角坐標系xOy取相同的長度單位,且以原點O為極點,以x軸正半軸為極軸)中,點P的極坐標為(4,),判斷點P與直線l的位置關系;
(Ⅱ)設點Q是曲線C上的一個動點,求它到直線l的距離的最值.
(Ⅲ)請問是否存在直線m , m∥l且m與曲線C的交點A、B滿足;
若存在請求出滿足題意的所有直線方程,若不存在請說明理由。
(Ⅰ)點P在直線上(Ⅱ)當時,d取得最小值,且最小值為
當時,d取得最大值,且最大值為3
(Ⅲ)
解析試題分析:(Ⅰ)把曲線C的參數(shù)方程轉化為曲線C的普通方程,再把點P的極坐標轉化為普通坐標,由此能判斷點P與直線l的位置關系.
(Ⅱ)由Q在曲線C上知Q到直線l:x-y+4=0的距離,由此能求出Q到直線l的距離的最小值.
(Ⅲ)設出平行線m方程,然后與橢圓方程聯(lián)立,結合弦長公式以及點到直線的距離公式即可。
試題解析:(Ⅰ)把極坐標系下的點化為直角坐標,得P(0,4)。 2分
因為點P的直角坐標(0,4)滿足直線的方程, 所以點P在直線上. 4分
(Ⅱ)因為點Q在曲線C上,故可設點Q的坐標為5分
從而點Q到直線的距離為
6分
由此得,當時,d取得最小值,且最小值為
當時,d取得最大值,且最大值為3 8分
(Ⅲ)設平行線m方程:x-y+n = 0 9分
設O到直線m的距離為d,則 10分
經(jīng)驗證均滿足題意 ,所以滿足題意直線m有4條,方程為: 12分
考點:簡單曲線的極坐標方程;直線與圓錐曲線的關系;參數(shù)方程化成普通方程.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為;在極坐標系(以原點為坐標原點,以軸正半軸為極軸)中曲線的方程為,則與的交點的距離為__________
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知極坐標系的原點在直角坐標系的原點處,極軸為軸正半軸,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),曲線的極坐標方程為.
(1)寫出的直角坐標方程,并說明是什么曲線?
(2)設直線與曲線相交于、兩點,求.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知曲線C: (t為參數(shù)), C:(為參數(shù))。
(1)化C,C的方程為普通方程,并說明它們分別表示什么曲線;
(2)若C上的點P對應的參數(shù)為,Q為C上的動點,求中點到直線
(t為參數(shù))距離的最小值。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知曲線,直線(為參數(shù))
寫出曲線的參數(shù)方程,直線的普通方程;
過曲線上任意一點作與夾角為30°的直線,交于點,求的最大值與最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知在直角坐標系xOy中,圓錐曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),直線l經(jīng)過定點P(2,3),傾斜角為.
(Ⅰ)寫出直線l的參數(shù)方程和圓的標準方程;
(Ⅱ)設直線l與圓相交于A,B兩點,求|PA|·|PB|的值.
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