【題目】定義:若函數(shù)f(x)對于其定義域內(nèi)的某一數(shù)x0 , 有 f(x0)=x0 , 則稱x0是f (x)的一個(gè)不動點(diǎn).已知函數(shù)f(x)=ax2+(b+1)x+b﹣1 (a≠0).
(1)當(dāng)a=1,b=﹣2時(shí),求函數(shù)f(x)的不動點(diǎn);
(2)若對任意的實(shí)數(shù)b,函數(shù)f(x)恒有兩個(gè)不動點(diǎn),求a的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,若y=f(x)圖象上兩個(gè)點(diǎn)A,B的橫坐標(biāo)是函數(shù)f(x)的不動點(diǎn),且A,B兩點(diǎn)關(guān)于直線y=kx+ 對稱,求b的最小值.

【答案】
(1)解:當(dāng)a=1,b=﹣2時(shí),有f (x)=x2﹣x﹣3,

令x2﹣x﹣3=x,化簡得:x2﹣2x﹣3=0,

解得:x1=﹣1,或x2=3

故所求的不動點(diǎn)為﹣1或3.(4分)


(2)解:令ax2+(b+1)x+b﹣1=x,則ax2+bx+b﹣1=0①

由題意,方程①恒有兩個(gè)不等實(shí)根,所以△=b2﹣4a(b﹣1)>0,

即b2﹣4ab+4a>0恒成立,(6分)

整理得b2﹣4ab+4a=(b﹣2a)2+4a﹣4a2>0,

故4a﹣4a2>0,即0<a<1


(3)解:設(shè)A(x1,x1),B(x2,x2)(x1≠x2),則kAB=1,∴k=﹣1,

所以y=﹣x+ ,

又AB的中點(diǎn)在該直線上,所以 =﹣ + ,

∴x1+x2= ,

而x1、x2應(yīng)是方程①的兩個(gè)根,所以x1+x2=﹣ ,即﹣ = ,

= =

∴當(dāng)a= ∈(0,1)時(shí),bmin=﹣1


【解析】(1)將a=1,b=﹣2代入f(x)=ax2+(b+1)x+b﹣1 (a≠0),求出f(x),令f(x)=x,解方程求不動點(diǎn)即可;(2)由ax2+(b+1)x+b﹣1=x有兩個(gè)不動點(diǎn),即ax2+bx+b﹣1=0有兩個(gè)不等實(shí)根,可通過判別式大于0得到關(guān)于參數(shù)a,b的不等式b2﹣4ab+4a>0,由于此不等式恒成立,配方可得b2﹣4ab+4a=(b﹣2a)2+4a﹣4a2>0恒成立,將此不等式恒成立轉(zhuǎn)化為4a﹣4a2>0即可.(3)由于本小題需要根據(jù)兩個(gè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化點(diǎn)關(guān)于線的對稱這一條件,故可以先設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1 , x1),B(x2 , x2)(x1≠x2),由斜率公式求得kAB=1,又對稱性知直線y=kx+ 的斜率k=﹣1將其代入直線的方程,可以得到x1+x2= ,由此聯(lián)想到根與系數(shù)的關(guān)系,由(II)知,x1、x2應(yīng)是方程ax2+bx+b﹣1=0的根,故又可得x1+x2=﹣ ,至此題設(shè)中的條件轉(zhuǎn)化為﹣ = ,觀察發(fā)現(xiàn)參數(shù)b可以表示成參數(shù)a的函數(shù)即 ,至此,求參數(shù)b的問題轉(zhuǎn)化為求b關(guān)于a的函數(shù)最小值的問題.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識,掌握當(dāng)時(shí),拋物線開口向上,函數(shù)在上遞減,在上遞增;當(dāng)時(shí),拋物線開口向下,函數(shù)在上遞增,在上遞減.

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(1)分別計(jì)算甲、乙兩廠提供的10個(gè)輪胎寬度的平均值;

(2)輪胎的寬度在內(nèi),則稱這個(gè)輪胎是標(biāo)準(zhǔn)輪胎.試比較甲、乙兩廠分別提供的10個(gè)輪胎中所有標(biāo)準(zhǔn)輪胎寬度的方差的大小,根據(jù)兩廠的標(biāo)準(zhǔn)輪胎寬度的平均水平及其波動情況,判斷這兩個(gè)工廠哪個(gè)廠的輪胎相對更好?

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