【題目】設數列{an}的前n項和為Sn , 設an是Sn與2的等差中項,數列{bn}中,b1=1,點P(bn , bn+1)在直線y=x+2上.
(1)求an , bn;
(2)若數列{bn}的前n項和為Bn , 比較 + +…+ 與1的大。
【答案】
(1)解:∵an是Sn與2的等差中項,∴2an=Sn+2 …①
當n=1時,a1=2;
n≥2時,2an﹣1=Sn﹣1+2 …②;
∴由①﹣②得:an=2an﹣1
∴{an}是一個以2為首項,以2為公比的等比數列,
∴an=2n.
又∵點P(bn,bn+1)在直線x﹣y+2=0上,
∴bn﹣bn+1+2=0即:bn+1﹣bn=2,
又b1=1,∴{bn}是一個以1為首項,以2為公差的等差數列,
∴bn=2n﹣1.
(2)解:由(1)知:Bn= .
∴ ,
∴ + +…+ = =1﹣ <1
【解析】(1)由于an是Sn與2的等差中項,可得2an=Sn+2,利用當n≥2時,an=Sn﹣Sn﹣1即可得出an與an﹣1的關系,再利用等比數列的通項公式即可得出.由于點P(bn , bn+1)在直線x﹣y+2=0上,可得bn﹣bn+1+2=0即:bn+1﹣bn=2,再利用等差數列的通項公式即可得出.(2)利用等差數列的前n項和公式可得Bn , 再利用“放縮法”和“裂項求和”即可證明
【考點精析】本題主要考查了數列的前n項和和數列的通項公式的相關知識點,需要掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系;如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示,那么這個公式就叫這個數列的通項公式才能正確解答此題.
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【題目】已知{an}是等差數列,Sn是其前n項和,
(1)a2=﹣1,S15=75,求an與Sn;
(2)a1+a2+a3+a4=124,an+an﹣1+an﹣2+an﹣3=156,Sn=210,求項數n.
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【題目】已知正項數列{an}的前n項和為Sn , 且2Sn=(an﹣1)(an+2),
(1)求數列{an}的通項公式
(2)設數列{ }的前n項和為Tn , 試比較Tn與 的大。
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【題目】定義:若函數f(x)對于其定義域內的某一數x0 , 有 f(x0)=x0 , 則稱x0是f (x)的一個不動點.已知函數f(x)=ax2+(b+1)x+b﹣1 (a≠0).
(1)當a=1,b=﹣2時,求函數f(x)的不動點;
(2)若對任意的實數b,函數f(x)恒有兩個不動點,求a的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,若y=f(x)圖象上兩個點A,B的橫坐標是函數f(x)的不動點,且A,B兩點關于直線y=kx+ 對稱,求b的最小值.
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【題目】已知函數f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,0<φ< )的部分圖象如圖.
(1)求f(x)的解析式;
(2)將函數y=f(x)的圖象上所有點的縱坐標不變,橫坐標縮短為原來的 倍,再將所得函數圖象向右平移 個單位,得到函數y=g(x)的圖象,求g(x)的單調遞增區(qū)間.
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【題目】下列數列中,既是遞增數列又是無窮數列的是( )
A.1, , , ,…
B.﹣1,﹣2,﹣3,﹣4,…
C.﹣1,﹣ ,﹣ ,﹣ ,…
D.1, , ,…,
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【題目】如圖,在三棱錐P﹣ABC中,PC⊥平面ABC,∠ACB=45°,BC=2 ,AB=2.
(1)求AC的長;
(2)若PC= ,點M在側棱PB上,且 = ,當λ為何值時,二面角B﹣AC﹣M的大小為30°.
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