17.如圖,△ABC是等邊三角形,D是AC邊上一動點(D不與A、C重合),E為BC邊的延長線上一動點,且在運動過程中始終保持CE=AD,連接DE.
(1)如圖(1),當點D為BC邊的中點時,試判斷△BDE的形狀,并證明你的結(jié)論;
(2)如圖(2),當點D為BC邊上任一位置時,(1)中的結(jié)論是否成立,請加以證明.

分析 (1)因為△ABC是等邊三角形,所以∠ABC=∠ACB=60°,BD是AC邊上的中線,則∠DBC=30°,再由題中條件求出∠E=30°,即可判斷△BDE的形狀.
(2)作DF∥AB,易證得△DFC是等邊三角形,得出DC=FC=DF,然后依據(jù)SAS證得△BDF≌△EDC,證得∠B=∠E,即可證得△BDE是等腰三角形.

解答 (1)證明:∵△ABC是等邊三角形,
∴∠ABC=∠ACB=60°,
∵AD=CD,
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°,
∵CE=CD,
∴∠CDE=∠E,
∵∠ACB=∠CDE+∠E,
∴∠E=30°,
∴∠DBE=∠E,
∴BD=DE,
∴△BDE是等腰三角形.
(2)成立,
證明:如圖(2),作DF∥AB,
∴∠DFC=∠ABC=60°,
∵∠ACB=60°,
∴△DFC是等邊三角形,
∴DC=FC=DF,
∵AC=BC,
∴AC-DC=BC-FC,即AD=BF,
∵CE=AD,
∴CE=BF,
在△BDF和△EDC中
$\left\{\begin{array}{l}{DF=DC}\\{∠BFD=∠ECD=120°}\\{BF=CE}\end{array}\right.$
∴△BDF≌△EDC(SAS),
∴∠B=∠E,
∴BD=ED,
∴△BDE是等腰三角形.

點評 本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì);此題把等邊三角形的性質(zhì)和等腰三角形的判定結(jié)合求解.考查了學生綜合運用數(shù)學知識的能力,(2)找出輔助線構(gòu)建全等三角形是解題的關鍵.

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