Question

19．如圖，在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2的圖象與x軸交于點A，B（點B在點A的左側），與y軸交于點C．若點N是拋物線對稱軸上一點，在拋物線上是否存在點M，使以點A，C，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形？

Answer 1

分析 求出求出A、B、C三點坐標，畫出圖形即可解決問題．

解答 解：存在．理由如下，
對于拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2，令y=0得-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=0，解得x=-1或4；令x=0，得y=2，
∴B（-1.0），A（4，0），C（0，2）．對稱軸x=$\frac{3}{2}$．
如圖所示，

①當以AC為邊時，易知點M的橫坐標為$\frac{11}{2}$或-$\frac{5}{2}$，此時M₁（$\frac{11}{2}$，-$\frac{39}{8}$），M₂（-$\frac{5}{2}$，-$\frac{39}{8}$）．
②當以AC為對角線時，易知點M的橫坐標為$\frac{5}{2}$，此時M₃（$\frac{5}{2}$，$\frac{21}{8}$），
綜上所述，當點M的坐標為（$\frac{11}{2}$，-$\frac{39}{8}$）或（-$\frac{5}{2}$，-$\frac{39}{8}$）或（$\frac{5}{2}$，$\frac{21}{8}$）時，存在以點A，C，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形．

點評 本題考查二次函數(shù)的應用、平行四邊形的判定和性質，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考�？碱}型．