Question

9．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=6，BC=10，AD=7，點P在邊AD上運動（不與點A，D重合），E是邊AB上一點，連結(jié)PC，PE，EC．
（1）當點B，P關于直線EC對稱時，求BE的長；
（2）設BE=a，若存在唯一點P，使∠EPC=90°，求a，AP的值．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作CM⊥AD于M．設BE=x．在Rt△PCM中，PM=$\sqrt{P{C}^{2}-C{M}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，在Rt△PAE中，根據(jù)PE²=AP²+AE²，列出方程即可解決問題．
（2）如圖2中，以CE為直徑作⊙，當⊙O與直線AD相切于點P時，存在唯一點P，使∠EPC=90°．連接OP，延長PO交BC于H．根據(jù)PO=$\frac{1}{2}$EC，可得方程6-$\frac{1}{2}$a=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{1{0}^{2}+{a}^{2}}$，解方程即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，作CM⊥AD于M．設BE=x．

∵△CEP是由△CEB翻折得到，
∴CP=CB=10，PE=EB=x，
∵∠A=90°，AD∥BC，
∴∠A=∠B=∠M=90°，
∴四邊形ABCM是矩形，
∴CM=AB=6，AM=BC=10，
在Rt△PCM中，PM=$\sqrt{P{C}^{2}-C{M}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∴AP=AM-PM=2，
在Rt△PAE中，∵PE²=AP²+AE²，
∴x²=（6-x）²+2²，
∴x=$\frac{10}{3}$，
∴BE=$\frac{10}{3}$．

（2）如圖2中，以CE為直徑作⊙，當⊙O與直線AD相切于點P時，存在唯一點P，使∠EPC=90°．連接OP，延長PO交BC于H．

∵AD是⊙O的切線，
∴OP⊥AD，
∴∠HPA=∠A=∠B=90°，
∴四邊形PABH是矩形，
∴PH=AB=6，AP=BH，OH∥EB，
∵CO=OE，∴CH=HB=5，
∴OH=$\frac{1}{2}$EB=$\frac{1}{2}$a，AP=BH=5，
∵PO=$\frac{1}{2}$EC，
∴6-$\frac{1}{2}$a=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{1{0}^{2}+{a}^{2}}$，
解得a=$\frac{11}{6}$，
∴AP=5，a=$\frac{11}{6}$．

點評 本題考查直角梯形的性質(zhì)、翻折變換、圓與直線的位置關系、勾股定理、矩形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，學會利用輔助圓解決問題，學會用方程的思想思考問題，屬于中考�？碱}型．