Question

如圖，⊙O的弦AC、BD交于點(diǎn)Q，AP、CP是⊙O的切線(xiàn)，O、Q、P三點(diǎn)共線(xiàn)．求證：PA²=PB•PD．

Answer 1

考點(diǎn)：四點(diǎn)共圓

專(zhuān)題：證明題

分析：連接OA、OB、OD，設(shè)DP交⊙O于E．利用已知條件“AP、CP是⊙O的切線(xiàn)”可以證得A、O、C、P四點(diǎn)共圓；然后根據(jù)相交弦定理知OQ•PQ=AQ•CQ、DQ•BQ=AQ•CQ，由等量代換可以求得OQ•PQ=DQ•BQ，所以D、O、B、P四點(diǎn)共圓，所以由圓周角、弦、弧間的關(guān)系可以證得∠DPO=∠BPO，PB=PE；最后根據(jù)切割線(xiàn)定理得出結(jié)論P(yáng)A²=PE•PD=PB•PD．

解答：證明：連接OA、OB、OD、OC，設(shè)DP交⊙O于E．
∵AP、CP是⊙O的切線(xiàn)，
∴∠OAP=∠PCO=90°
∴A、O、C、P四點(diǎn)共圓，
∴OQ•PQ=AQ•CQ（相交弦定理）；
又∵DQ•BQ=AQ•CQ（相交弦定理），
∴OQ•PQ=DQ•BQ，
∴D、O、B、P四點(diǎn)共圓；
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD；
又∵ODPB四點(diǎn)共圓
∴∠ODB=∠OPB；∠OBD=∠OPD；
∴∠OPD=∠OPB，
∴PB=PE，
∴PA²=PE•PD=PB•PD（切割線(xiàn)定理），即PA²=PB•PD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了四點(diǎn)共圓的知識(shí)．把被證共圓的四點(diǎn)兩兩連成相交的兩條線(xiàn)段，若能證明它們各自被交點(diǎn)分成的兩線(xiàn)段之積相等，即可肯定這四點(diǎn)共圓；或把被證共圓的四點(diǎn)兩兩連接并延長(zhǎng)相交的兩線(xiàn)段，若能證明自交點(diǎn)至一線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)所成的兩線(xiàn)段之積等于自交點(diǎn)至另一線(xiàn)段兩端點(diǎn)所成的兩線(xiàn)段之積，即可肯定這四點(diǎn)也共圓．