Question

如圖，AB是⊙O的直徑，BC切⊙O于點B，連接CO并延長，交⊙O于點D、E，連接AD并延長，交BC于點F．
（1）求證：∠CBD=∠ADE；
（2）求證：

BD

AD

=

CD

BC

；
（3）若AB=1，tan∠CDF=

6

3

，求CD的值．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）根據題意即可推出∠CBD=∠BAD，由∠EDA=∠BAD，即可推出∠CBD=∠ADE；
（2）根據相似三角形（△BDC∽△EBC）的對應邊成比例知

BD

EB

=

DC

BC

，進而得出AD=BE，即可得出

BD

AD

=

CD

BC

；
（3）根據已知得出DE是⊙O的直徑，進而得出BO，DO的長，再利用（2）中相似的性質以及勾股定理求出即可．

解答：（1）證明：∵BC切⊙O于點B，
∴∠CBD=∠BAD，
∵DO=AO，
∴∠EDA=∠BAD，
∴∠BAD=∠ADE；

（2）證明：
∵∠BED=∠BAD（同弧所對的圓周角相等），即∠BEC=∠BAD，
∴∠DBC=∠BEC；
又∵∠BCD=∠ECB（公共角），
∴△BDC∽△EBC，
∴

BD

EB

=

DC

BC

，
∵∠BOE=∠AOD，
∴BE=AD，
∴

BD

AD

=

CD

BC

；

（3）解：∵AB=1，∴ED=1，BO=DO=

1

2

，
∵BO=AO=DO，
∴∠ODA=∠A=∠E，
∵∠CDF=∠ADE，
∴∠ODA=∠A=∠E=∠CDF，
∵tan∠CDF=

6

3

，
∴tan∠DEB=

BD

BE

=

6

3

，
∵

BD

EB

=

DC

BC

，
∴

DC

BC

=

6

3

，
∴設CD=

6

x，BC=3x，
∵BO²+BC²=CO²，
∴（

1

2

）²+（3x）²=（

1

2

+

6

x）²，
解得：x=

6

3

，
∴CD的值為：

6

3

×

6

=2．

點評：本題主要考查了切線的性質、相似三角形的判定與性質、圓周角定理、銳角三角函數定義等知識點，關鍵在于已知條件推出△BDC∽△EBC．