Question

如圖在△ABC中，BE是它的角平分線，∠C=90°，D在AB邊上，以DB為直徑的半圓O經(jīng)過點E．
（1）試說明：AC是⊙O的切線；
（2）若∠A=30°，⊙O的半徑為4，求圓中陰影部分的面積．

Answer 1

考點：切線的判定,扇形面積的計算

專題：計算題

分析：（1）由OB=OE，利用等邊對等角得到一對角相等，再由BE為角平分線得到一對角相等，等量代換得到一對內(nèi)錯角相等，利用內(nèi)錯角相等兩直線平行得到OE與BC平行，利用兩直線平行同位角相等得到OE⊥AC，即可得證；
（2）由∠A的度數(shù)求出∠AOE度數(shù)，利用30°直角三角形的性質(zhì)求出OA的長，利用勾股定理求出AE的長，陰影部分面積=直角三角形AOE面積-扇形OED面積，求出即可．

解答：解：（1）∵OB=OE，
∴∠BEO=∠EBO，
∵BE平分∠CBO，
∴∠EBO=∠CBE，
∴∠BEO=∠CBE，
∴EO∥BC，
∵∠C=90°，
∴∠AEO=∠C=90°，
則AC是圓O的切線；

（2）在Rt△AEO中，∠A=30°，OE=4，
∴OA=2OE=8，∠AOE=60°，
根據(jù)勾股定理得：AE=

OA2-OE2

=4

3

，
則S_陰影=S_△AOE-S_扇形EOD=

1

2

×4×4

3

-

60π×42

360

=8

3

-

8π

3

．

點評：此題考查了切線的判定，以及扇形面積的計算，涉及的知識有：等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，含30°直角三角形的性質(zhì)，以及勾股定理，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關(guān)鍵．