Question

設(shè)n為正整數(shù)，A=2004ⁿ，A被7除余數(shù)為2，A被11除余數(shù)為3，則n的最小值是

 

．

Answer 1

考點：帶余除法

專題：探究型

分析：先把2002化為7×11×26的形式，令A(yù)=2004ⁿ=（7a+2）ⁿ=（11b+2）ⁿ，再分別把=（7a+2）ⁿ和A=（11a+2）ⁿ進(jìn)行展開，把n=0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10代入進(jìn)行檢驗即可．

解答：解：∵2002=7×11×26，則A=2004ⁿ=（7a+2）ⁿ=（11b+2）ⁿ
其中a=11×26，b=7×26均為整數(shù)．
對A=（7a+2）ⁿ進(jìn)行展開，按a的降冪排列，顯然有a的項必有7的出現(xiàn)，也就是說展開式除常數(shù)項外全部能被7整除．余數(shù)只看常數(shù)項即可．
同理，對A=（11a+2）ⁿ進(jìn)行展開．也可以得到，余數(shù)只看常數(shù)項即可．
展開后的常數(shù)項均為2ⁿ，即2的n次方．
顯然，2ⁿ=7x+2且2ⁿ=11y+3
這里x和y均為整數(shù)．
2⁰=1，不合題意，
2¹=2，不合題意，
2²=4，不合題意，
2³=8，不合題意，
2⁴=16，不合題意，
2⁵=32，不合題意，
2⁶=64，不合題意，
2⁷=128，不合題意，
2⁸=256，不合題意，
2⁹=512，不合題意，
2¹⁰=1024，合題意．
故n的最小值為10．
故答案為：10．

點評：本題考查的是帶余數(shù)的除法，根據(jù)題意把2004ⁿ化為（7a+2）ⁿ=（11b+2）ⁿ的形式是解答此題的關(guān)鍵．