10.在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D是AB的中點(diǎn),點(diǎn)E是邊AC上的一動點(diǎn),點(diǎn)F是邊BC上的一動點(diǎn).
(1)若AE=CF,試證明DE=DF;
(2)在點(diǎn)E、點(diǎn)F的運(yùn)動過程中,若DE⊥DF,試判斷DE與DF是否一定相等?并加以說明.
(3)在(2)的條件下,若AC=2,四邊形ECFD的面積是一個定值嗎?若不是,請說明理由,若是,請直接寫出它的面積.

分析 (1)根據(jù)已知條件,運(yùn)用SAS判定△DAE≌△DCF,即可得出對應(yīng)邊DE=DF;
(2)根據(jù)已知條件,運(yùn)用ASA判定△DAE≌△DCF,即可得出DE與DF一定相等;
(3)根據(jù)△DAE≌△DCF,可得△ADE的面積=△DCF的面積,進(jìn)而得出四邊形ECFD的面積=△DCF的面積+△CDE的面積=△ADE的面積+△CDE的面積=△ACD的面積,再根據(jù)△ACD的面積=$\frac{1}{2}$×△ABC的面積=1,即可得出四邊形 ECFD的面積是一定值1.

解答 解:(1)∵△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D是AB的中點(diǎn),
∴∠A=∠DCF=45°,CD=$\frac{1}{2}$AB=AD,
在△DAE和△DCF中,
$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}\\{∠A=∠DCF}\\{AD=CD}\end{array}\right.$,
∴△DAE≌△DCF(SAS),
∴DE=DF;

(2)DE與DF一定相等.
證明:∵△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D是AB的中點(diǎn),
∴∠A=∠DCF=45°,CD=$\frac{1}{2}$AB=AD,CD⊥AB,
∴∠ADC=∠EDF=90°,
∴∠ADE=∠CDF,
在△DAE和△DCF中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠DCF}\\{AD=CD}\\{∠ADE=∠CDF}\end{array}\right.$,
∴△DAE≌△DCF(ASA),
∴DE=DF;

(3)四邊形 ECFD的面積是一定值1.
由(2)可得,△DAE≌△DCF,
∴△ADE的面積=△DCF的面積,
∴四邊形ECFD的面積=△DCF的面積+△CDE的面積=△ADE的面積+△CDE的面積=△ACD的面積,
又∵∠ACB=90°,AC=BC=2,
∴△ABC的面積=$\frac{1}{2}$×2×2=2,
又∵D是AB的中點(diǎn),
∴△ACD的面積=$\frac{1}{2}$×△ABC的面積=1,
即四邊形ECFD的面積=1.

點(diǎn)評 本題屬于三角形綜合題,主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用,解決問題的關(guān)鍵是掌握:兩邊及其夾角分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等;兩角及其夾邊分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等.

練習(xí)冊系列答案
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B.
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