Question

如圖，在?ABCD中，點E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，點P在線段GF上，則△PHE與?ABCD的面積的比值是

 

．

Answer 1

考點：平行四邊形的性質,三角形的面積,三角形中位線定理,相似三角形的判定與性質

專題：計算題

分析：連接BD，根據三角形中位線得出GF∥BD，HF∥BD，GF=

1

2

BD，EH=

1

2

BD，推出△CGF∽△CDB，設△CBD的邊BD上的高是h，得出平行線BD和GF間的距離是

1

2

h，平行線EH和BD間的距離是

1

2

h，求出△PHE的邊HE上的高，求出平行四邊形ABCD的面積和△PHE的面積即可．

解答：解：連接BD，
∵點E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，
∴GF∥BD，HF∥BD，GF=

1

2

BD，EH=

1

2

BD，
∴△CGF∽△CDB，
設△CBD的邊BD上的高是h，
則平行線BD和GF間的距離是

1

2

h，
同理平行線EH和BD間的距離是

1

2

h，
∴△PHE的邊HE上的高是

1

2

h+

1

2

h=h，
∴平行四邊形ABCD的面積是S_△ABD+S_△CBD=2S_△CBD=2×BD×h×

1

2

=BDh，
△PHE的面積是

1

2

EH×h=

1

2

×

1

2

BD×h=

1

4

BDh，
∴△PHE與?ABCD的面積的比值

1

4

，
故答案為：

1

4

．

點評：本題考查了平行四邊形的性質，三角形的面積，三角形的中位線，相似三角形的性質和判定等知識點的應用，主要培養(yǎng)學生運用定理進行推理的能力，本題題型較好，但有一定的難度．