Question

有很多種方法可以將2001寫成25個(gè)自然數(shù)之和，對(duì)于每一種寫法，這25個(gè)自然數(shù)均有相應(yīng)的最大公約數(shù)，那么這個(gè)最大公約數(shù)的最大值是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：約數(shù)與倍數(shù)

專題：

分析：根據(jù)2001=3×23×29=69×（1×24+5），即2001可寫成：24個(gè)69、1個(gè)69×5=345的和，或23個(gè)69、1個(gè)69×2=138，1個(gè)69×4=276的和，或23個(gè)69、2個(gè)69×3=207的和，或22個(gè)69、2個(gè)69×2=138，1個(gè)69×3=207的和，或21個(gè)69、4個(gè)69×2=138的和，這25個(gè)自然數(shù)的最大公因數(shù)必定能整除3×23×29．這些公因數(shù)中的最大值不可能超過3×29=87，否則這25個(gè)之和必定大于2001，所以最大值是3×23=69，它們的最大公因數(shù)都是69．

解答：解：因?yàn)?001=3×23×29=69×（1×24+5），
從 69×（1×24+5）可以看題目需要分多少份（本題是25份），
可以是：24個(gè)69、1個(gè)69×5=345的和，或23個(gè)69、1個(gè)69×2=138，1個(gè)69×4=276的和，
或23個(gè)69、2個(gè)69×3=207的和，或22個(gè)69、2個(gè)69×2=138，1個(gè)69×3=207的和，或21個(gè)69、4個(gè)69×2=138的和，
不管是那種情況，25個(gè)數(shù)中要么是69，要么是69的倍數(shù)，
所以他們的最大公因數(shù)都是69．
答：這個(gè)最大公因數(shù)的最大值是69．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查公因數(shù)和公倍數(shù)問題，注意根據(jù)分解質(zhì)因數(shù)情況確定多個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)情況．