Question

如圖，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，將一塊銳角為45°的直角三角板ADE如圖放置，使三角板斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)分別與A、D重合，連接BE、EC．
下列判斷正確的有（　　）
①△ABE≌△DCE；②BE=EC；③BE⊥EC；④EC=

5

DE．

• A、1個(gè)
• B、2個(gè)
• C、3個(gè)
• D、4個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：壓軸題

分析：根據(jù)AC=2AB，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)求出AB=CD，再根據(jù)△ADE是等腰直角三角形求出AE=DE，并求出∠BAE=∠CDE=135°，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△DCE全等，從而判斷出①小題正確；根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BE=EC，從而判斷出②小題正確；根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠AEB=∠DEC，然后推出∠BEC=∠AED，從而判斷出③小題正確；根據(jù)等腰直角三角形斜邊等于直角邊的

2

倍，用DE表示出AD，然后得到AB、AC，再根據(jù)勾股定理用DE與EC表示出BC，整理即可得解，從而判斷出④小題正確．

解答：解：∵AC=2AB，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，
∴CD=

1

2

AC=AB，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴AE=DE，
∠BAE=90°+45°=135°，∠CDE=180°-45°=135°，
∴∠BAE=∠CDE，
在△ABE和△DCE中，

AB=CD ∠BAE=∠CDE AE=DE

，
∴△ABE≌△DCE（SAS），故①小題正確；
∴BE=EC，∠AEB=∠DEC，故②小題正確；
∵∠AEB+∠BED=90°，
∴∠DEC+∠BED=90°，
∴BE⊥EC，故③小題正確；
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴AD=

2

DE，
∵AC=2AB，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，
∴AB=

2

DE，AC=2

2

DE，
在Rt△ABC中，BC²=AB²+AC²=（

2

DE）²+（2

2

DE）²=10DE²，
∵BE=EC，BE⊥EC，
∴BC²=BE²+EC²=2EC²，
∴2EC²=10DE²，
解得EC=

5

DE，故④小題正確，
綜上所述，判斷正確的有①②③④共4個(gè)．
故選D．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，準(zhǔn)確識(shí)圖，根據(jù)△ADE是等腰直角三角形推出AE=DE，∠BAE=∠CDE=135°是解題的關(guān)鍵，也是解決本題的突破口．