Question

1．問題提出：有同樣大小正方形256個(gè)，拼成如圖1所示的16×16的一個(gè)大的正方形．請(qǐng)問如果用一條直線穿過這個(gè)大正方形的話，最多可以穿過多少個(gè)小正方形？

我們先考慮以下簡(jiǎn)單的情況：一條直線穿越一個(gè)正方形的情況．（如圖2）
從圖2中我們可以看出，當(dāng)一條直線穿過一個(gè)小正方形時(shí)，這條直線最多與正方形上、下、左、右四條邊中的兩個(gè)邊相交，所以當(dāng)一條直線穿過一個(gè)小正方形時(shí)，這條直線會(huì)與其中某兩條邊產(chǎn)生兩個(gè)交點(diǎn)，并且以兩個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的線段會(huì)全部落在小正方形內(nèi)．
這就啟發(fā)我們：為了求出直線L最多穿過多少個(gè)小正方形，我們可以轉(zhuǎn)而去考慮當(dāng)直線L穿越由小正方形拼成的大正方形時(shí)最多會(huì)產(chǎn)生多少個(gè)交點(diǎn)．然后由交點(diǎn)數(shù)去確定有多少根小線段，進(jìn)而通過線段的根數(shù)確定下正方形的個(gè)數(shù)．
再讓我們來考慮3×3正方形的情況（如圖3）：為了讓直線穿越更多的小正方形，我們不妨假設(shè)直線L右上方至左下方穿過一個(gè)3×3的正方形，我們從兩個(gè)方向來分析直線l穿過3×3正方形的情況：從上下來看，這條直線由下至上最多可穿過上下平行的兩條線段；從左右來看，這條直線最多可穿過左右平行的四條線段；這樣直線L最多可穿過3×3的大正方形中的六條線段，從而直線L上會(huì)產(chǎn)生6個(gè)交點(diǎn)，這6個(gè)交點(diǎn)之間的5條線段，每條會(huì)落在一個(gè)不同的正方形內(nèi)，因此直線L最多能經(jīng)過5個(gè)小正方形．
問題解決：
（1）有同樣大小的小正方形16個(gè)，拼成如圖4所示的4×4的一個(gè)大的正方形．請(qǐng)問如果用一條直線穿過這個(gè)大正方形的話，最多可以穿過7個(gè)小正方形？
（2）有同樣大小的小正方形100個(gè)，拼成10×10的一個(gè)大的正方形．請(qǐng)問如果用一條直線穿過這個(gè)大正方形的話，最多可以穿過19個(gè)小正方形？
（3）有同樣大小的小正方形256個(gè)，拼成16×16的一個(gè)大的正方形．請(qǐng)問如果用一條直線穿過這個(gè)大正方形的話，最多可以穿過31個(gè)小正方形？
（4）請(qǐng)問如果用一條直線穿n×n大正方形的話，最多可以穿過2n-1個(gè)小正方形？
拓展探究：
（5）請(qǐng)問如果用一條直線穿2×3大長方形的話（如圖5），最多可以穿過4個(gè)小正方形？
（6）請(qǐng)問如果用一條直線穿3×4大長方形的話（如圖6），最多可以穿過6個(gè)小正方形？
（7）請(qǐng)問如果用一條直線穿m×n大長方形的話，最多可以穿過m+n-1個(gè)小正方形？
請(qǐng)將你的推理過程進(jìn)行簡(jiǎn)要的敘述．
類比探究：由二維的平面我們可以聯(lián)想到三維的立體空間，平面中的正方形中四條邊可聯(lián)想到正方體中的正方形的六個(gè)面，類比上面問題解決的方法解決如下問題．
（8）如圖①有同樣大小的小正方體8個(gè)，拼成如圖①所示的2×2×2的一個(gè)大的正方體．請(qǐng)問如果用一條直線穿過這個(gè)大正方體的話，最多可以穿過多少個(gè)小正方體？

（9）請(qǐng)問如果用一條直線穿過n×n×n大正方體的話，最多可以穿過多少個(gè)小正方體？

Answer 1

分析 （1）為了讓直線穿越更多的小正方形，我們不妨假設(shè)直線L右上方至左下方穿過一個(gè)4×4的正方形，我們從兩個(gè)方向來分析直線l穿過4×4正方形的情況：從上下來看，這條直線由下至上最多可穿過上下平行的3條線段；從左右來看，這條直線最多可穿過左右平行的5條線段；這樣直線L最多可穿過4×4的大正方形中的8條線段，從而直線L上會(huì)產(chǎn)生8個(gè)交點(diǎn)，這8個(gè)交點(diǎn)之間的7條線段，這樣就不難得到答案．
（2）應(yīng)用規(guī)律2n-1得到答案．
（3）應(yīng)用規(guī)律2n-1得到答案．
（4）應(yīng)用規(guī)律2n-1得到答案．
（5）我們不妨假設(shè)直線L右上方至左下方穿過一個(gè)2×3的正方形，我們從兩個(gè)方向來分析直線l穿過2×3正方形的情況：從上下來看，這條直線由下至上最多可穿過上下平行的1條線段；從左右來看，這條直線最多可穿過左右平行的4條線段；這樣直線L最多可穿過2×3的大正方形中的5條線段，從而直線L上會(huì)產(chǎn)生5個(gè)交點(diǎn)，這5個(gè)交點(diǎn)之間的4條線段，每條會(huì)落在一個(gè)不同的正方形內(nèi)，因此直線L最多能經(jīng)過4個(gè)小正方形．
（6）不妨假設(shè)直線L右上方至左下方穿過一個(gè)3×4的正方形，我們從兩個(gè)方向來分析直線l穿過3×4正方形的情況：從上下來看，這條直線由下至上最多可穿過上下平行的2條線段；從左右來看，這條直線最多可穿過左右平行的5條線段；這樣直線L最多可穿過4×4的大正方形中的7條線段，從而直線L上會(huì)產(chǎn)生7個(gè)交點(diǎn)，這7個(gè)交點(diǎn)之間的6條線段，每條會(huì)落在一個(gè)不同的正方形內(nèi)，因此直線L最多能經(jīng)過6個(gè)小正方形．
（7）不妨假設(shè)直線L右上方至左下方穿過一個(gè)m×n的正方形，我們從兩個(gè)方向來分析直線l穿過m×n正方形的情況：從上下來看，這條直線由下至上最多可穿過上下平行的（m-1）條線段；從左右來看，這條直線最多可穿過左右平行的（n+1）條線段；這樣直線L最多可穿過4×4的大正方形中的（m+n）條線段，從而直線L上會(huì)產(chǎn)生（m+n）個(gè)交點(diǎn)，這m+n個(gè)交點(diǎn)之間的（m+n-1）條線段，每條會(huì)落在一個(gè)不同的正方形內(nèi)，因此直線L最多能經(jīng)過（m+n-1）個(gè)小正方形．
（8）用類似的方法得到規(guī)律：3n-2．即可解決．
（9）根據(jù)規(guī)律3n-2得到答案．

解答 解：（1）再讓我們來考慮4×4正方形的情況（如圖4）：為了讓直線穿越更多的小正方形，我們不妨假設(shè)直線L右上方至左下方穿過一個(gè)4×4的正方形，我們從兩個(gè)方向來分析直線l穿過4×4正方形的情況：從上下來看，這條直線由下至上最多可穿過上下平行的3條線段；從左右來看，這條直線最多可穿過左右平行的5條線段；這樣直線L最多可穿過4×4的大正方形中的8條線段，從而直線L上會(huì)產(chǎn)生8個(gè)交點(diǎn)，這8個(gè)交點(diǎn)之間的7條線段，每條會(huì)落在一個(gè)不同的正方形內(nèi)，因此直線L最多能經(jīng)過7個(gè)小正方形．
故答案為7
（2）我們發(fā)現(xiàn)直線穿越1×1正方形時(shí)最多經(jīng)過1個(gè)正方形，直線穿越2×2正方形時(shí)最多經(jīng)過3個(gè)正方形，直線穿越3×3正方形時(shí)最多經(jīng)過5個(gè)正方形，
直線穿越4×4正方形時(shí)最多經(jīng)過7個(gè)正方形，…直線穿越n×n正方形時(shí)最多經(jīng)過2n-1個(gè)正方形．
∴直線穿越10×10正方形時(shí)最多經(jīng)過19個(gè)正方形．
故答案為19．
（3）由（2）可知，有2×16-1=31個(gè)正方形，
故答案為31．
（4）由（2）可知有2n-1個(gè)正方形．
故答案為2n-1．
（5）為了讓直線穿越更多的小正方形，我們不妨假設(shè)直線L右上方至左下方穿過一個(gè)2×3的正方形，我們從兩個(gè)方向來分析直線l穿過2×3正方形的情況：從上下來看，這條直線由下至上最多可穿過上下平行的1條線段；從左右來看，這條直線最多可穿過左右平行的4條線段；這樣直線L最多可穿過2×3的大正方形中的5條線段，從而直線L上會(huì)產(chǎn)生5個(gè)交點(diǎn)，這5個(gè)交點(diǎn)之間的4條線段，每條會(huì)落在一個(gè)不同的正方形內(nèi)，因此直線L最多能經(jīng)過4個(gè)小正方形，
故答案為4．
（6）為了讓直線穿越更多的小正方形，我們不妨假設(shè)直線L右上方至左下方穿過一個(gè)3×4的正方形，我們從兩個(gè)方向來分析直線l穿過3×4正方形的情況：從上下來看，這條直線由下至上最多可穿過上下平行的2條線段；從左右來看，這條直線最多可穿過左右平行的5條線段；這樣直線L最多可穿過4×4的大正方形中的7條線段，從而直線L上會(huì)產(chǎn)生7個(gè)交點(diǎn)，這7個(gè)交點(diǎn)之間的6條線段，每條會(huì)落在一個(gè)不同的正方形內(nèi)，因此直線L最多能經(jīng)過6個(gè)小正方形．
故答案為6．
（7）為了讓直線穿越更多的小正方形，我們不妨假設(shè)直線L右上方至左下方穿過一個(gè)m×n的正方形，我們從兩個(gè)方向來分析直線l穿過m×n正方形的情況：從上下來看，這條直線由下至上最多可穿過上下平行的（m-1）條線段；從左右來看，這條直線最多可穿過左右平行的（n+1）條線段；這樣直線L最多可穿過4×4的大正方形中的（m+n）條線段，從而直線L上會(huì)產(chǎn)生（m+n）個(gè)交點(diǎn)，這m+n個(gè)交點(diǎn)之間的（m+n-1）條線段，每條會(huì)落在一個(gè)不同的正方形內(nèi)，因此直線L最多能經(jīng)過（m+n-1）個(gè)小正方形，
故答案為（m+n-1）．
（8）用類似的方法可以得到：用一條直線穿過1×1×1正方體的話，最多可以穿過1個(gè)小正方體，用一條直線穿過，2×2×2正方體的話，最多可以穿過4個(gè)小正方體，用一條直線穿過，3×3×3正方體的話，最多可以穿過7個(gè)小正方體，用一條直線穿過4×4×4正方體的話，最多可以穿過10個(gè)小正方體，…用一條直線穿過，n×n×n正方體的話，最多可以穿過（3n-2）個(gè)小正方體．
故答案為4．
（9）由（8）可知有（3n-2）個(gè)正方形，
故答案為（3n-2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線線相交得點(diǎn)、以及正方形、立方體的有關(guān)知識(shí)，是個(gè)探究題目，學(xué)會(huì)從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的推理方法，找到規(guī)律即可解決問題，本題難度比較大，從穿過的線段入手，找到問題的突破口，這個(gè)方法值得在以后的學(xué)習(xí)中應(yīng)用．