Question

如圖，已知拋物線y=ax²-2ax+c與y軸交于點C，與x軸交于A、B兩點，點A的坐標是（-1，0），O是坐標原點，且OC=3OA．點E為線段BC上的動點（點E不與點B，C重合），以E為頂點作∠OEF=45°，射線ET交線段OB于點F．
（1）求出此拋物線函數(shù)表達式，并直接寫出直線BC的解析式；
（2）求證：∠BEF=∠COE；
（3）當△EOF為等腰三角形時，求此時點E的坐標；
（4）點P為拋物線的對稱軸與直線BC的交點，點M在x軸上，點N在拋物線上，是否存在以點A、M、N、P為頂點的平行四邊形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）∵點A的坐標是（-1，0），則AO=1，OC=3OA=3，
∴C為（0，-3）
∵拋物線過（-1，0）和（0，-3）

∴ a+2a+c=0 c=-3 ∴ a=1 c=-3

∴此拋物線函數(shù)表達式為：y=x²-2x-3，
∵y=x²-2x-3=（x-3）（x+1），
∴B點坐標為：（3，0），
設BC直線解析式為：y=kx+b，

b=-3 3k+b=0

，
解得：

k=1 b=-3

，
直線BC的解析式：y=x-3；

（2）∵OB=OC=3
∴∠OCB=∠OBC=45°
又∵∠OEF+∠BEF=∠COE+∠OCB
且∠OEF=45°
∴∠BEF=∠COE；

（3）①∵∠OFE=∠BEF+∠OBC＞45°
∴∠OFE＞∠OEF
∴OE＞OF即OE≠OF．
②當OE=EF時，
在△COE和△BEF中

∠BEF=∠COE ∠OCE=∠EBF OE=EF

，
∴△COE≌△BEF（AAS），
∴BE=CO=3．
過E作ED⊥x軸于D．
∴ED=BD=BEcos45°=

3 2

2

，
∴OD=3-

3 2

2

，
∴E為（3-

3 2

2

，-

3 2

2

）；
③當OF=EF時，則∠FOE=∠OEF=45°
∴∠OFE=90°．∴EF⊥OB．
∴E為BC的中點，∴E為(

3

2

，-

3

2

)．

（4）對稱軸為x=1，
∴P為（1，-2）．
①AP為邊，
此時P點縱坐標為2或-2，
令x²-2x-3=2
即x²-2x-5=0
∴x₁=1+

6

，x₂=1-

6

，
∴N為（1+

6

，2）或（1-

6

，2），
故M為（3+

6

，0）或（3-

6

，0），
令x²-2x-3=-2
即x²-2x-1=0，
∴x₁=1+

2

，x₂=1-

2

，
∴N為（1+

2

，2）或（1-

2

，2），
故M為（-1+

2

，0）或（-1-

2

，0），
②AP為對角線，
設M為（x，0）
則N為（-x，-2）
∴x²+2x-3=-2
x²+2x-1=0
∴x₁=-1+

2

，x₂=-1-

2

，
故M為（-1+

2

，0）或（-1-

2

，0），
綜上所述：M為（3+

6

，0）或（3-

6

，0）或（-1+

2

，0）或（-1-

2

，0）．