18.在Rt△ABC中,∠C=90°,且滿足AC>BC,BD平分∠ABC,點(diǎn)E在BC上,∠EDB=45°,若BE=5CE,CD=3,則AB的長(zhǎng)為10.

分析 如圖,作BF⊥DE于F,F(xiàn)N⊥BC于N,F(xiàn)M⊥AC于M,DH⊥AB于H,連接CF.由△DMF≌△BNF,推出FM=FN,DM=BN,由FM⊥CM,F(xiàn)N⊥CN,推出∠FCM=∠FCN=45°,推出CM=FM=CN=FN,四邊形MCNF是正方形,設(shè)邊長(zhǎng)為x,CE=a,BE=5a,由DM=BN,可得3+x=6a-x,推出x=$\frac{6a-3}{2}$,由CD∥FN,得$\frac{CD}{FN}$=$\frac{CE}{EN}$,得$\frac{3}{\frac{6a-3}{2}}$=$\frac{a}{\frac{6a-3}{2}-a}$,解得a=1或$\frac{3}{2}$,分兩種情形分別求解即可.

解答 解:如圖,作BF⊥DE于F,F(xiàn)N⊥BC于N,F(xiàn)M⊥AC于M,DH⊥AB于H,連接CF.
∵∠FDB=∠FBD=45°,
∴DF=BF,∵∠DCE=∠EFB=90°,∠CED=∠FEB,
∴∠CDE=∠EBG,
在△DMF和△BNF中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠M=∠BNF=90°}\\{∠MDF=∠NBF}\\{DF=BF}\end{array}\right.$,
∴△DMF≌△BNF,
∴FM=FN,DM=BN,∵FM⊥CM,F(xiàn)N⊥CN,
∴∠FCM=∠FCN=45°,
∴CM=FM=CN=FN,四邊形MCNF是正方形,設(shè)邊長(zhǎng)為x,CE=a,BE=5a,
∵DM=BN,
∴3+x=6a-x,
∴x=$\frac{6a-3}{2}$,
∵CD∥FN,
∴$\frac{CD}{FN}$=$\frac{CE}{EN}$,
∴$\frac{3}{\frac{6a-3}{2}}$=$\frac{a}{\frac{6a-3}{2}-a}$,
解得a=1或$\frac{3}{2}$,
∵$\frac{{S}_{△BDC}}{{S}_{△BDA}}$=$\frac{DC}{AD}$=$\frac{\frac{1}{2}•BC•DC}{\frac{1}{2}•AB•CD}$,
∵BD平分∠ABC,DH⊥AB,DC⊥BC,
∴$\frac{DC}{AD}$=$\frac{BC}{AB}$,設(shè)AD=y,
①當(dāng)a=1時(shí),BC=6,
∴$\frac{3}{y}$=$\frac{6}{AB}$,
∴AB=2y,
在Rt△ABC中,62+(y+3)2=(2y)2,解得y=5或-3(舍棄),
∴AB=10,
②當(dāng)a=$\frac{3}{2}$時(shí),BC=9,
∴$\frac{3}{y}$=$\frac{9}{AB}$,
∴AB=3y,
在Rt△ABC中,92+(y+3)2=(3y)2,解得y=3或-$\frac{15}{4}$(舍棄),
AD+DC=6,6<9不合題意舍棄,
∴AB=10.
故答案為10.

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、平行線分線段成比例定理,角平分線的性質(zhì)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線,構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題,學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題,屬于中考填空題中的壓軸題.

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