Question

如圖，PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點，∠AOB=120°．
（1）求∠APB的度數(shù)；
（2）當OA=6時，求AP的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于PA、PB是⊙O的切線，于是∠OAP=∠OBP=90°，而∠AOB=120°，利用四邊形內角和等于360°，可求∠PAB；
（2）連接OP，由于PA、PB是⊙O的切線，那么PA=PB，而∠OAP=∠OBP=90°，OA=OB，利用SAS可證∴△AOP≌△ABP，于是∠APO=∠BPO，結合∠PAB=60°，易求∠APO=∠BPO=30°，在Rt△OAP中，易求OP，再利用勾股定理可求AP．
解答：解：如右圖所示，
（1）∵PA、PB是⊙O的切線，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
又∵∠AOB=120°，
∴∠PAB=360°-120°-90°-90°=60°；

（2）連接OP，
∵PA、PB是⊙O的切線，
∴PA=PB，
又∵∠OAP=∠OBP=90°，OA=OB，
∴△AOP≌△BOP，
∴∠APO=∠BPO，
∵∠APB=60°，
∴∠APO=∠BPO=30°，
在Rt△OAP中，∠APO=30°，OA=6，
∴OP=12，
∴AP==6．
點評：本題考查了切線的性質、四邊形的內角和、全等三角形的判定和性質、直角三角形30°的角所對邊等于斜邊的一半、勾股定理．解題的關鍵是連接OP，構造全等三角形．