Question

2．（1）如圖1，點E在∠ACB的角平分線上，EF⊥CB，EG⊥CA，當∠GED繞點E旋轉，設旋轉過程中∠GEF的大小不變且兩邊與射線CB、CA交點分別為F′和G′，問EF′、EG′的值是否會變化？請說明理由；
（2）如圖2，點E是∠ACB內一定點，將∠GEF繞點E旋轉，設EF的兩邊與射線CB、CA分別交于點F和G，若在旋轉過程中EF：EG的值不變，問∠GEF與∠C滿足什么條件？證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）如圖1，根據角平分線性質得EG=EF，再由∠GEF=∠G′EF′得到∠GEG′=∠FEF′，則可根據“ASA”證明△EGG′≌△EFF′，所以EG′=EF′，于是可判斷EF′：EG′的值為定值；
（2）過E點作EG′⊥CA于G′，EF′⊥CB于F′，如圖2，由點E為定點得到EF′：EG′的值不變，加上EF：EG的值不變，所以可判斷當G點旋轉到于G′重合時，點F與F′重合，則∠GEF=∠G′EF′，然后利用四邊形內角和得∠G′EF′+∠C=180°，所以∠GEF+∠C=180°．

解答 解：（1）EF′：EG′的值不變化．理由如下：
如圖1，∵CE為角平分線，EG⊥CA，EF⊥CB，
∴EG=EF，
∵∠GEF=∠G′EF′，
∴∠GEF-∠G′EF=∠G′EF′-∠G′EF，
即∠GEG′=∠FEF′，
在△EGG′和△EFF′中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GEG′=∠FEF′}\\{EG=EF}\\{∠EGG′=∠EFF′}\end{array}\right.$，
∴△EGG′≌△EFF′，
∴EG′=EF′，
∴EF′：EG′=1，即EF′：EG′的值為定值；
（2）∠GEF+∠C=180°．理由如下：
過E點作EG′⊥CA于G′，EF′⊥CB于F′，如圖2，
∵點E為定點，
∴EF′：EG′的值不變，
而EF：EG的值不變，
所以當G點旋轉到于G′重合時，點F與F′重合，
∴∠GEF=∠G′EF′，
∵∠G′EF′+∠C=360°-90°-90°=180°，
∴∠GEF+∠C=180°．

點評 本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．解決（2）小題的關鍵是作EG′⊥CA于G′，EF′⊥CB于F′，說明∠GEF=∠G′EF′．