Question

13．如圖（1），已知拋物線y=ax²+bx+5與x軸交于A、B（點A在點B的左側）兩點，與y軸交于點C，已知點A的橫坐標為-5，且點D（-2，-3）在此拋物線的對稱軸上．
（1）求a、b的值；
（2）若在直線AC上方的拋物線上有一點M，當點M到x軸的距離與M到直線AC的距離之比為$\frac{{4\sqrt{2}}}{3}$時，在y軸上找一點P，使得|PD-PM|值最大，時求此時點P的坐標及|PD-PM|的最大值；
（3）如圖（2），過點B作BK⊥x軸交直線AC于點K，連接DK、AD，點H是DK的中點，點G是線段AK上任意一點，將△DGH沿邊GH翻折得△D'GH，當KG為何值時，△D'GH與△KGH重疊部分的面積是△DGK面積的$\frac{1}{4}$？

Answer 1

分析 （1）列出關于a、b的方程組解方程組即可；
（2）如圖2中，作MP⊥AC于P，MG⊥AB于G，MG與AC交于點T，設點M（m，-m²-4m+5），求出MG、MP列出方程解方程即可，再求出直線DM的解析式即可解決問題．
（3）令y=0，得出點B和K的坐標，分三種情況：①若翻折后，點D′在直線GK上方，記D′H與GK交于點L，連接D'K，由面積的關系得出四邊形D'GHK是平行四邊形，再證明△ABK和△AED都是等腰直角三角形，由勾股定理得AG和KG即可；②若翻折后，點D′在直線DK下方，記D′G與KH交于點L，連接D′K，由題意得S_△GHL=$\frac{1}{4}$S_△DGK=$\frac{1}{2}$S_△GHK=$\frac{1}{2}$S_△GHD′，即S_△GHL=S_△D′HL=S_△KGL，仍證明四邊形D′KGH是平行四邊形，求得KG；③若翻折后，點D′于點K重合，則重疊部分的面積等于S_△KGH=$\frac{1}{2}$S_△DGK，不合題意；綜合寫出KG的值．

解答 解：（1）∵D（-2，-3）在對稱軸上，點A（-5，0）
∴拋物線的對稱軸為直線x=-2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{25a-5b+5=0}\\{-\frac{2a}=-2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-x²-4x+5，
∴a=-1，b=-4．

（2）如圖（1）中，作MN⊥AC于N，MG⊥AB于G，MG與AC交于點T，設點M（m，-m²-4m+5），
∵AO=CO=5，∠AOC=∠AGT=∠MNT=90°，
∴∠TAG=∠ATG=∠MTN=∠NMT=45°，
∵直線AC為y=x+5，
∴點T（m，m+5），MT=-m²-4m+5-（m+5）=-m²-5m，
∴PM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$TM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（-m²-5m），
∵$\frac{MG}{MN}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
∴$\frac{-{m}^{2}-4m+5}{\frac{\sqrt{2}}{2}（-{m}^{2}-5m）}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
解得m=-3（或-5不合題意舍棄），
∴點M坐標（-3，8）．
連接DM，直線DM交y軸于P，此時|PD-PM|的最大值，最大值=$\sqrt{{1}^{2}+1{1}^{2}}$=$\sqrt{122}$，
∵直線DM的解析式為y=-11x-25，
∴此時點P坐標（0，-25）．

（3）令-x²-4x+5=0，得x=-5或x=1，
∴B（1，0），K（1，6），
∵DK=$\sqrt{[1-（-2）]^{2}+[6-（-3）]^{2}}$=3$\sqrt{10}$，
①若翻折后，點D′在直線GK上方，記D′H與GK交于點L，連接D'K，
如圖2，
∴S_△GHL=$\frac{1}{4}$S_△DGK=$\frac{1}{2}$S_△GHK=$\frac{1}{2}$S_△GHD′，即S_△GHL=S_△D'GL=S_△KHL，
∴GL=LK，HL=D'L，
∴四邊形D'GHK是平行四邊形，
∴DG=D′G=KH=$\frac{1}{2}$KD=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$，
又∵BK=BA=6，DE=AE=3，
∴△ABK和△AED都是等腰直角三角形，AD=3 $\sqrt{2}$，
∴∠DAG=45°+45°=90°，
由勾股定理得：AG=$\sqrt{D{G}^{2}-A{D}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴KG=KA-AG=6 $\sqrt{2}$-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$=$\frac{9\sqrt{2}}{2}$，
②若翻折后，點D′在直線DK下方，記D′G與KH交于點L，連接D′K，如圖3，
∴S_△GHL=$\frac{1}{4}$S_△DGK=$\frac{1}{2}$S_△GHK=$\frac{1}{2}$S_△GHD′，即S_△GHL=S_△D′HL=S_△KGL，
∴HL=KL，GL=D′L，
∴四邊形D′KGH是平行四邊形，
∴KG=D′H=DH=$\frac{1}{2}$KD=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$，
③若翻折后，點D′于點K重合，則重疊部分的面積等于S_△KGH=$\frac{1}{2}$S_△DGK，不合題意；
綜上所述，KG=$\frac{9\sqrt{2}}{2}$或KG=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$．

點評 本題考查二次函數綜合題、等腰三角形的判定和性質、直角三角形的判定和性質、勾股定理的運用以及全等三角形的判定和性質、三角形面積問題等知識，解題的關鍵是學會利用參數構建方程解決問題，學會用分類討論的思想思考問題，注意不能漏解，屬于中考壓軸題．