Question

6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=mx²-4mx+4m+3的頂點(diǎn)為A．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）將線段OA沿x軸向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到線段O′A′．
①直接寫(xiě)出點(diǎn)O′和A′的坐標(biāo)；
②若拋物線y=mx²-4mx+4m+3與四邊形AOO′A′有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖象，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將拋物線解析式配成頂點(diǎn)式，即可得出頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)平移的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（3）結(jié)合圖象，判斷出拋物線和四邊形AOO'A'只有兩個(gè)公共點(diǎn)的分界點(diǎn)即可得出；

解答 解：（1）∵y=mx²-4mx+4m+3=m（x²-4x+4）+3=m（x-2）²+3，∴
∴拋物線的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，3）．
（2）由（1）知，A（2，3），
∵線段OA沿x軸向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到線段O′A′．
∴A'（4，3），O'（2，0）；
   （3）如圖，

∵拋物線y=mx²-4mx+4m+3與四邊形AOO′A′有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)，
∴m＜0．
由圖象可知，拋物線是始終和四邊形AOO'A'的邊O'A'相交，
∴拋物線已經(jīng)和四邊形AOO′A′有兩個(gè)公共點(diǎn)，
∴將（0，0）代入y=mx²-4mx+4m+3中，得m=-$\frac{3}{4}$．
∴-$\frac{3}{4}$＜m＜0．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了配方法，平移的性質(zhì)，拋物線的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是借助圖象找出只有兩個(gè)公共點(diǎn)的分界點(diǎn)，是一道比較簡(jiǎn)單的題目，畫(huà)出圖象是解本題的難點(diǎn)，用數(shù)形結(jié)合的方法，有助于學(xué)生理解和找到分界點(diǎn)．