Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，C分別在x軸，y軸上，四邊形ABCO為矩形，AB=4，BC=3，點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段AD，AC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A，D重合），且∠CEF=∠ACB．
（1）求AC的長和點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）說明△AEF與△DCE相似；
（3）當(dāng)△EFC為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理就可以求出AC的值，由軸對(duì)稱的性質(zhì)就可以求出AO=DO從而可以求出D的坐標(biāo)；
（2）欲證△AEF與△DCE相似，只需要證明兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等即可．如圖①，在△AEF與△DCE中，易知∠CDE=∠CAO，∠AEF=∠DCE，從而問題解決；
（3）當(dāng)△EFC為等腰三角形時(shí)，有三種情況，需要分類討論：
①當(dāng)CE=EF時(shí)，此時(shí)△AEF與△DCE相似比為1，則有AE=CD；
②當(dāng)EF=FC時(shí)，此時(shí)過點(diǎn)F作FM⊥CE于M，則點(diǎn)M為CE中點(diǎn)，根據(jù)三角函數(shù)值可以求出CE與EF的關(guān)系，再△AEF∽△DCE的性質(zhì)就可以求出結(jié)論；
③當(dāng)CE=CF時(shí)，F(xiàn)點(diǎn)與A點(diǎn)重合，這與已知條件矛盾，故此種情況不存在．

解答：解：（1）∵四邊形ABCO為矩形，
∴AO=BC，AB=OC，∠B=90°，
∴在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，由勾股定理，得
AC=5．
∴AO=3．
∵點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴AO=DO．
∴DO=3，
∴D（3，0）；

（2）點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴∠CDE=∠CAO，
∴AC=CD=5．
∵∠CEF=∠ACB，∠ACB=∠CAO，
∴∠CDE=∠CEF，
∵∠AFE=∠ACE+∠CEF，∠DEC=∠ACE+∠CAO（三角形外角性質(zhì)）
∴∠AFE=∠DEC．
∵在△AEF與△DCE中，

∠CDE=∠CAO ∠AFE=∠DEC

，
∴△AEF∽△DCE（AA）．

（3）當(dāng)△EFC為等腰三角形時(shí)，有以下三種情況：
①當(dāng)CE=EF時(shí)，
∵△AEF∽△DCE，
∴△AEF≌△DCE
∴AE=CD=5，
∴OE=AE-OA=5-3=2，
∴E（2，0）；
②當(dāng)EF=FC時(shí)，如圖②所示，過點(diǎn)F作FM⊥CE于M，則點(diǎn)M為CE中點(diǎn)，
∴CE=2ME=2EF•cos∠CEF=2EF•cos∠ACB=2×

3

5

EF=

6

5

EF．
∵△AEF∽△DCE，
∴

EF

CE

=

AE

CD

，
∴

EF

6 5 EF

=

AE

5

，
解得AE=

25

6

，
∴OE=AE-OA=

25

6

-3=

7

6

，
∴E（

7

6

，0）；
③當(dāng)CE=CF時(shí)，則有∠CFE=∠CEF，
∵∠CEF=∠ACB=∠CAO，
∴∠CFE=∠CAO，即此時(shí)F點(diǎn)與A點(diǎn)重合，這與已知條件矛盾．
綜上所述，當(dāng)△EFC為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，2，0）或（

7

6

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了矩形、等腰三角形、直角三角形等平面幾何圖形在坐標(biāo)平面內(nèi)的性質(zhì)與變換，相似三角形的判定與性質(zhì)應(yīng)用是其核心．難點(diǎn)在于第（3）問，當(dāng)△EFC為等腰三角形時(shí)，有三種情況，需要分類討論，注意不要漏解．