Question

如圖，在長方形ABCD中，O為對角線AC的中點，P是AB上任意一點，Q是OC上任意一點，已知：AC=2，BC=1．
（1）求折線OPQB的長的最小值；
（2）當折線OPQB的長最小時，試確定Q的位置．

Answer 1

（1）作點B關于AC的對稱點B′，作點O關于AB的對稱點O′，
連接AB′，QB′，AO′，PO′，B′O′，則QB=QB′，OP=O′P，
折線OPQB的長=OP+PQ+QB=O′P+PQ+QB′，
∴折線OPQB的長的最小值=B′O′．（5分）
∵在長方形ABCD中，∠ABC=90°，
在△ABC中，AC=2，BC=1，∠ABC=90°，
∴∠BAC=30°，
∵點B、B′關于AC對稱，點O、O′關于AB對稱，
∴∠B′AC=30°，AB′=AB=

3

，∠O′AB=30°，AO′=AO=1，
∴∠B′AO′=90°，
∴B′O′=

( 3 )2+12

=2，
∴折線OPQB的長的最小值=2；（5分）

（2）設B′O′交AC于點Q′，
∵在Rt△AO′B′中，AO′=1，B′O′=2，
∴∠AB′O′=30°，則∠AO′B′=60°，
∵在△AO′Q′中，∠Q′AO′=∠Q′AB+∠BAO′=60°，
∴△AO′Q′是等邊三角形，
∴AQ′=AO′=1=AO，
∴點Q′就是AC的中點O．
∴當折線OPQB的長最小時，點Q在AC的中點．（5分）