Question

若a，b，c，d都是實數(shù)，且ab=2（c+d），求證：關于x的方程x²+ax+c=0，x²+bx+d=0中至少有一個方程有實數(shù)根．

Answer 1

考點：根的判別式

專題：證明題

分析：首先分別求出兩個方程的判別式，然后把它們相加，接著利用ab=2（c+d）證明它們的和是非負數(shù)，根據(jù)判別式與方程的根的關系即可解決問題．

解答：解：方程x²+ax+c=0的判別式為△₁=a²-4c，
方程x²+bx+d=0的判別式為△₂=b²-4d，
所以△₁+△₂=a²-4c+b²-4d=a²+b²-4（c+d），
∵ab=2（c+d），
∴△₁+△₂=a²+b²-2ab=（a-b）²≥0，
∴△₁和△₂中至少有一個正數(shù)或都是0，
∴方程x²+ax+c=0，x²+bx+d=0中至少有一個方程有實根．

點評：此題考查了一元二次方程的根和判別式之間的關系，若△＞0，則方程有兩個不相等的實數(shù)根；若△=0，則方程有兩個相等的實數(shù)根；若△＜0，則方程沒有實數(shù)根．