Question

14．閱讀下面的材料，回答問題：
如圖，在單位長度為1的正方形網格中，一段圓弧經過點A、B、C．
（1）利用網格標出該圓弧所在圓的圓心O；
（2）請在（1）的基礎上，完成下列問題：
         ①⊙O的半徑為$\sqrt{5}$（結果保留根號）；
         ②$\widehat{ABC}$的長為$\sqrt{5}$π（結果保留π）；
         ③判斷直線CD與⊙O的位置關系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）連接AC，作AC的垂直平分線，由垂徑定理可知OE與網格的交點即為⊙O的圓心；
（2）①直接根據正方形網格的特點及勾股定理求出OC的長即為⊙O的半徑；
②先根據直角三角形的性質得出∠AOC=90°，再根據弧長公式求出$\widehat{ABC}$的度數；
③連接CD，根據勾股定理得出CD、OD的長，由勾股定理的逆定理判斷出△OCD的形狀即可．

解答 解：（1）如圖所示：

連接AC，作線段AC的垂線OE，交正方形網格于點O，則O點即為⊙O的圓心．
（2）①在Rt△OCF中，
∵CF=2，OF=4，
∴OC=$\sqrt{C{F}^{2}+O{F}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{5}$；
故答案為：$\sqrt{5}$．
②在Rt△OAG與Rt△OCF中，AG=OF=4，OG=CF=2，OA=OC=2$\sqrt{5}$，
∴∠OAG=∠COF，∠AOG=∠OCF，
∵∠OAG+∠AOG=90°，∠OCF+∠COF=90°，
∴∠AOG+∠COF=90°，
∴∠AOC=90°，
∴$\widehat{ABC}$=$\frac{90π•OC}{180}$=$\frac{2\sqrt{5}π}{2}$=$\sqrt{5}$π；
故答案為：$\sqrt{5}$π．
③直線DC與⊙O相切．
理由：∵連接CD，在△DCO中，CD=$\sqrt{5}$，CO=2$\sqrt{5}$，DO=5，
∴CD²+CO²=25=DO²．
∴∠DCO=90°，即CD⊥OC．
∴CD與⊙O相切．

點評 本題考查的是垂徑定理的應用、勾股定理、直線與圓的位置關系、勾股定理的逆定理及弧長的計算，在解答此題時要先根據垂徑定理作出圓心，再根據勾股定理的相關知識進行解答．