Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+2交x軸于A（-1，0），B（4，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，與過(guò)點(diǎn)C且平行于x軸的直線交于另一點(diǎn)D，點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．

（1）求拋物線解析式及點(diǎn)D坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)E在x軸上，若以A，E，D，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）過(guò)點(diǎn)P作直線CD的垂線，垂足為Q，若將△CPQ沿CP翻折，點(diǎn)Q的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Q′．是否存在點(diǎn)P，使Q′恰好落在x軸上？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）∵拋物線y=ax²+bx+2經(jīng)過(guò)A（-1，0），B（4，0）兩點(diǎn)，
∴

a-b+2=0 16a+4b+2=0

，
解得：

a=- 1 2 b= 3 2

∴y=-

1

2

x²+

3

2

x+2；
當(dāng)y=2時(shí)，-

1

2

x²+

3

2

x+2=2，解得：x₁=3，x₂=0（舍），
即：點(diǎn)D坐標(biāo)為（3，2）．

（2）A，E兩點(diǎn)都在x軸上，AE有兩種可能：
①當(dāng)AE為一邊時(shí)，AE∥PD，
∴P₁（0，2），
②當(dāng)AE為對(duì)角線時(shí)，根據(jù)平行四邊形對(duì)頂點(diǎn)到另一條對(duì)角線距離相等，
可知P點(diǎn)、D點(diǎn)到直線AE（即x軸）的距離相等，
∴P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-2，
代入拋物線的解析式：-

1

2

x²+

3

2

x+2=-2
解得：x₁=

3+ 41

2

，x₂=

3- 41

2

，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（

3- 41

2

，-2），（

3+ 41

2

，-2）
綜上所述：P₁（0，2）；P₂（

3- 41

2

，-2）；P₃（

3+ 41

2

，-2）．

（3）存在滿足條件的點(diǎn)P，顯然點(diǎn)P在直線CD下方，設(shè)直線PQ交x軸于F，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，-

1

2

a²+

3

2

a+2），

①當(dāng)P點(diǎn)在y軸右側(cè)時(shí)（如圖1），CQ=a，
PQ=2-（-

1

2

a²+

3

2

a+2）=

1

2

a²-

3

2

a，
又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°，∠COQ′=∠Q′FP=90°，
∴∠FQ′P=∠OCQ′，
∴△COQ′∽△Q′FP，

Q′C

CO

=

Q′P

FQ′

，

a

2

=

1 2 a2- 3 2 a

Q′F

，
∴Q′F=a-3，
∴OQ′=OF-Q′F=a-（a-3）=3，CQ=CQ′=

CO2+OQ2

=

32+22

=

13

，
此時(shí)a=

13

，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

13

，

-9+3 13

2

），
②當(dāng)P點(diǎn)在y軸左側(cè)時(shí)（如圖2）此時(shí)a＜0，-

1

2

a²+

3

2

a+2＜0，CQ=-a，
PQ=2-（-

1

2

a²+

3

2

a+2）=

1

2

a²-

3

2

a，
又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°，∠CQ′O+∠OCQ′=90°，
∴∠FQ′P=∠OCQ′，∠COQ′=∠Q′FP=90°，
∴△COQ′∽△Q′FP，

Q′C

CO

=

Q′P

FQ′

，

-a

2

=

1 2 a2- 3 2 a

Q′F

，Q′F=3-a，
∴OQ′=3，
CQ=CQ′=

CO2+OQ2

=

32+22

=

13

，
此時(shí)a=-

13

，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-

13

，

-9-3 13

2

）．
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為（

13

，

-9+3 13

2

），（-

13

，

-9-3 13

2

）．