Question

如圖，點(diǎn)M（4，0），以點(diǎn)M為圓心、2為半徑的圓與x軸交于點(diǎn)A、B．已知拋物線y=

1

6

x²+bx+c過(guò)點(diǎn)A和B，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)，并畫(huà)出拋物線的大致圖象；
（2）點(diǎn)Q（8，m）在拋物線y=

1

6

x²+bx+c上，點(diǎn)P為此拋物線對(duì)稱軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PQ+PB的最小值；
（3）CE是過(guò)點(diǎn)C的⊙M的切線，點(diǎn)E是切點(diǎn)，求OE所在直線的解析式．

Answer 1

（1）由已知，得A（2，0），B（6，0），
∵拋物線y=

1

6

x²+bx+c過(guò)點(diǎn)A和B，
則

1 6 ×22+2b+c=0 1 6 ×62+6b+c=0

解得

b=- 4 3 c=2

則拋物線的解析式為
y=

1

6

x²-

4

3

x+2．
故C（0，2）．（2分）
（說(shuō)明：拋物線的大致圖象要過(guò)點(diǎn)A、B、C，其開(kāi)口方向、頂點(diǎn)和對(duì)稱軸相對(duì)準(zhǔn)確）（3分）

（2）如圖①，拋物線對(duì)稱軸l是x=4．
∵Q（8，m）在拋物線上，
∴m=2．過(guò)點(diǎn)Q作QK⊥x軸于點(diǎn)K，則K（8，0），QK=2，AK=6，
∴AQ=

AK2+QK2

=2

10

．（5分）
又∵B（6，0）與A（2，0）關(guān)于對(duì)稱軸l對(duì)稱，
∴PQ+PB的最小值=AQ=2

10

．

（3）如圖②，連接EM和CM．
由已知，得EM=OC=2．
∵CE是⊙M的切線，
∴∠DEM=90°，
則∠DEM=∠DOC．
又∵∠ODC=∠EDM．
故△DEM≌△DOC．
∴OD=DE，CD=MD．
又在△ODE和△MDC中，∠ODE=∠MDC，∠DOE=∠DEO=∠DCM=∠DMC．
則OE∥CM．（7分）
設(shè)CM所在直線的解析式為y=kx+b，CM過(guò)點(diǎn)C（0，2），M（4，0），
∴

4k+b=0 b=2

解得

k=- 1 2 b=2

直線CM的解析式為y=-

1

2

x+2．
又∵直線OE過(guò)原點(diǎn)O，且OE∥CM，
∴OE的解析式為y=-

1

2

x．（8分）