如圖1,直線(xiàn)L:y=-x+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、點(diǎn)C,經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)的拋物線(xiàn)G:y=ax2+bx+c與x軸的另一交點(diǎn)為A,頂點(diǎn)為P,且對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=2.
(1)該拋物線(xiàn)G的解析式為_(kāi)_____;
(2)將直線(xiàn)L沿y軸向下平移______個(gè)單位長(zhǎng)度,能使它與拋物線(xiàn)G只有一個(gè)公共點(diǎn);
(3)若點(diǎn)E在拋物線(xiàn)G的對(duì)稱(chēng)軸上,點(diǎn)F在該拋物線(xiàn)上,且以點(diǎn)A、B、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形,求點(diǎn)E與點(diǎn)F坐標(biāo)并直接寫(xiě)出平行四邊形的周長(zhǎng).
(4)連接AC,得△ABC.若點(diǎn)Q在x軸上,且以點(diǎn)P、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似,求點(diǎn)Q的坐標(biāo).
(1)當(dāng)x=0時(shí),y=3,
當(dāng)y=0時(shí),-x+3=0,解得x=3,
∴點(diǎn)B、C的坐標(biāo)為B(3,0),C(0,3),
又∵拋物線(xiàn)過(guò)x軸上的A,B兩點(diǎn),且對(duì)稱(chēng)軸為x=2,
根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性,
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),
a+b+c=0
9a+3b+c=0
c=3
,
解得
a=1
b=-4
c=3
,
∴拋物線(xiàn)的解析式為y=x2-4x+3;

(2)設(shè)平移后的直線(xiàn)解析式為y=-x+b,
y=-x+b
y=x2-4x+3
,
∴x2-3x+3-b=0,
∵它與拋物線(xiàn)G只有一個(gè)公共點(diǎn),
∴△=b2-4ac=(-3)2-4×1×(3-b)=9-12+4b=0,
解得b=
3
4
,
3-
3
4
=
9
4

∴向下平移了
9
4
個(gè)單位;

(3)∵A(1,0),B(3,0),
∴AB=3-1=2,
①當(dāng)AB是邊時(shí),∵點(diǎn)E在對(duì)稱(chēng)軸上,平行四邊形的對(duì)邊平行且相等,
∴EF=AB=2,
∴點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為0或4,
當(dāng)橫坐標(biāo)為0時(shí),y=02-4×0+3=3,
當(dāng)橫坐標(biāo)為4時(shí),y=42-4×4+3=3,
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為F1(0,3)或F2(4,3),
此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為E1(2,3),
此時(shí)AE=
12+32
=
10

∴平行四邊形的周長(zhǎng)為:2(AB+AE)=2(2+
10
)=4+2
10
;
②當(dāng)AB邊為對(duì)角線(xiàn)時(shí),EF與AB互相垂直平分,
∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1,
∴此時(shí)點(diǎn)E、F的坐標(biāo)為E2(2,1),F(xiàn)3(2,-1),
∴AE=
12+12
=
2

AF=
12+12
=
2
,
∴平行四邊形的周長(zhǎng)為:2(AE+AF)=2(
2
+
2
)=4
2
,
綜上所述,點(diǎn)E、F的坐標(biāo)分別為E1(2,3),F(xiàn)1(0,3)或F2(4,3),此時(shí)平行四邊形的周長(zhǎng)為4+2
10
,
或E2(2,1),F(xiàn)3(2,-1),此時(shí)平行四邊形的周長(zhǎng)為4
2


(4)連接PB,由y=x2-4x+3=(x-2)2-1,得P(2,-1),
設(shè)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)M,
∵在Rt△PBM中,PM=MB=1,
∴∠PBM=45°,PB=
2

由點(diǎn)B(3,0),C(0,3)易得OB=OC=3,在等腰直角三角形OBC中,∠ABC=45°,
由勾股定理,得BC=3
2

假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)Q,使得以點(diǎn)P,B,Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似.
①PB與AB是對(duì)應(yīng)邊時(shí),∵∠PBQ=∠ABC=45°,
BQ
BC
=
PB
AB
,
BQ
3
2
=
2
2

解得BQ=3,
又∵BO=3,
∴點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合,
∴Q1的坐標(biāo)是(0,0),
②PB與BC是對(duì)應(yīng)邊時(shí),∵∠PBQ=∠ABC=45°,
QB
AB
=
PB
BC
,
QB
2
=
2
3
2
,
解得QB=
2
3

∵OB=3,
∴OQ=OB-QB=3-
2
3
=
7
3
,
∴Q2的坐標(biāo)是(
7
3
,0),
③∵∠PBx=180°-45°=135°,∠BAC<135°,
∴∠PBx≠∠BAC.
∴點(diǎn)Q不可能在B點(diǎn)右側(cè)的x軸上
綜上所述,在x軸上存在兩點(diǎn)Q1(0,0),Q2
7
3
,0),能使得以點(diǎn)P,B,Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,在直角坐標(biāo)系內(nèi),O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),點(diǎn)B在x軸上且在點(diǎn)A的右端,OA=AB,分別過(guò)點(diǎn)A、B作x軸的垂線(xiàn),與二次函數(shù)y=x2的圖象交于C、D兩點(diǎn),分別過(guò)點(diǎn)C、D作y軸的垂線(xiàn),交y軸于點(diǎn)E、F,直線(xiàn)CD交y軸于點(diǎn)H.
(1)驗(yàn)證:S矩形OACE:S梯形ECDF=2:9;
(2)如果點(diǎn)A的坐標(biāo)改為(t,0)(t>0),其他條件不變,(1)的結(jié)論是否成立?請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)如果點(diǎn)A的坐標(biāo)改為(t,0)(t>0),二次函數(shù)改為y=ax2(a>0),其他條件不變,記點(diǎn)C、D的橫坐標(biāo)分別為xC、xD,點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為yH,試證明:xCxD=-
1
a
yH

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知二次函數(shù)y=x2+bx+c圖象的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=2,且過(guò)點(diǎn)A(0,3).
(1)求b、c的值;
(2)求出該二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)B、C的坐標(biāo);
(3)如果某個(gè)一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O和該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)M.問(wèn)在這個(gè)一次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)P,使得△PBC是直角三角形?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,拋物線(xiàn)y=ax2+bx+2交x軸于A(-1,0),B(4,0)兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C,與過(guò)點(diǎn)C且平行于x軸的直線(xiàn)交于另一點(diǎn)D,點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn).

(1)求拋物線(xiàn)解析式及點(diǎn)D坐標(biāo);
(2)點(diǎn)E在x軸上,若以A,E,D,P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)CD的垂線(xiàn),垂足為Q,若將△CPQ沿CP翻折,點(diǎn)Q的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Q′.是否存在點(diǎn)P,使Q′恰好落在x軸上?若存在,求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,拋物線(xiàn)y=-x2+bx+c與x軸交于A(1,0),B(-3,0)兩點(diǎn).
(1)求該拋物線(xiàn)的解析式;
(2)設(shè)(1)中的拋物線(xiàn)交y軸與C點(diǎn),在該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)Q,使得△QAC的周長(zhǎng)最?若存在,求出Q點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)在(1)中的拋物線(xiàn)上的第二象限上是否存在一點(diǎn)P,使△PBC的面積最大?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PBC的面積最大值;若沒(méi)有,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,已知拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于A(-6,0)、B(2,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,-6).
(1)求此拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式,寫(xiě)出它的對(duì)稱(chēng)軸;
(2)若在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上存在一點(diǎn)M,使△MBC的周長(zhǎng)最小,求點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)若點(diǎn)P(0,k)為線(xiàn)段OC上的一個(gè)不與端點(diǎn)重合的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作PDCM交x于點(diǎn)D,連接MD、MP,設(shè)△MPD的面積為S,求當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)S的值最大?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c(a≠0)交x軸于A、B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C,已知拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=-1,其中B(1,0),C(0,-3).
(Ⅰ)求二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的解析式;
(Ⅱ)設(shè)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為D,求△ABD的面積;
(Ⅲ)求使y≥-3的x的取值范圍.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知直角梯形紙片OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖①所示,四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為O(0,0),A(10,0),B(8,2
3
),C(0,2
3
),點(diǎn)P在線(xiàn)段OA上(不與O、A重合),將紙片折疊,使點(diǎn)A落在射線(xiàn)AB上(記為點(diǎn)A’),折痕PQ與射線(xiàn)AB交于點(diǎn)Q,設(shè)OP=x,折疊后紙片重疊部分的面積為y.(圖②供探索用)
(1)求∠OAB的度數(shù);
(2)求y與x的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的x的取值范圍;
(3)y存在最大值嗎?若存在,求出這個(gè)最大值,并求此時(shí)x的值;若不存在,說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D在BC上,DEAC,交AB與點(diǎn)E,點(diǎn)F在AC上,DC=DF,若BC=3,EB=4,CD=x,CF=y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出自變量x的取值范圍.

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