Question

11．如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，E為AB中點(diǎn)，點(diǎn)F在CB的延長線上，且EF∥BD．
（1）求證；四邊形OBFE是平行四邊形；
（2）當(dāng)線段AD和BD之間滿足什么條件時(shí)，四邊形OBFE是矩形？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先證明OE是△ABC的中位線，推出OE∥BC，由EF∥OB，推薦可提出四邊形OBFE是平行四邊形．
（2）當(dāng)AD⊥BD時(shí)，四邊形OBFE是矩形． 只要證明∠EOB=90°即可解決問題．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)．
又∵點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)，
∴OE是△ABC的中位線，
∴OE∥BC，
又∵點(diǎn)F在CB的延長線上，
∴OE∥BF．
∵EF∥BD，即EF∥OB，
∴四邊形OBFE是平行四邊形．  

（2）當(dāng)AD⊥BD時(shí)，四邊形OBFE是矩形． 
理由：由（1）可知四邊形OBFE是平行四邊形，
又∵AD⊥BD，AD∥BC，且點(diǎn)F在BC的延長線上，
∴FC⊥BD，
∴∠OBF=90°，
∴四邊形OBFE是矩形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平行四邊形的性質(zhì)和判定、矩形的判定、三角形的中位線定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和判定，掌握矩形的判定方法，屬于中考常考題型．