如圖,拋物線(xiàn)y=ax2-5ax+4經(jīng)過(guò)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn),已知BCx軸,點(diǎn)A在x軸上,點(diǎn)C在y軸上,且AC=BC.
(1)求拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸;
(2)寫(xiě)出A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)并求拋物線(xiàn)的解析式;
(3)探究:若點(diǎn)P是拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上且在x軸下方的動(dòng)點(diǎn),是否存在△PAB是等腰三角形?若存在,求出所有符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo);不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(1)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸x=-
-5a
2a
=
5
2
;(2分)

(2)由拋物線(xiàn)y=ax2-5ax+4可知C(0,4),對(duì)稱(chēng)軸x=-
-5a
2a
=
5
2
,
∴BC=5,B(5,4),又AC=BC=5,OC=4,
在Rt△AOC中,由勾股定理,得AO=3,
∴A(-3,0)B(5,4)C(0,4)(5分)
把點(diǎn)A坐標(biāo)代入y=ax2-5ax+4中,
解得a=-
1
6
,(6)
∴y=-
1
6
x2+
5
6
x+4.(7分)

(3)存在符合條件的點(diǎn)P共有3個(gè).以下分三類(lèi)情形探索.
設(shè)拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于N,與CB交于M.
過(guò)點(diǎn)B作BQ⊥x軸于Q,
易得BQ=4,AQ=8,AN=5.5,BM=
5
2

①以AB為腰且頂角為角A的△PAB有1個(gè):△P1AB.
∴AB2=AQ2+BQ2=82+42=80(8分)
在Rt△ANP1中,P1N=
AP12-AN2
=
AB2-AN2
=
80-(5.5)2
=
199
2
,
∴P1
5
2
,-
199
2
).(9分)
②以AB為腰且頂角為角B的△PAB有1個(gè):△P2AB.
在Rt△BMP2中MP2=
B
P22
-BM2
=
AB2-BM2

=
80-
25
4

=
295
2
,(10分)
∴P2=(
5
2
,
8-
295
2
).(11分)
③以AB為底,頂角為角P的△PAB有1個(gè),即△P3AB.
畫(huà)AB的垂直平分線(xiàn)交拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸于P3,此時(shí)平分線(xiàn)必過(guò)等腰△ABC的頂點(diǎn)C.
過(guò)點(diǎn)P3作P3K垂直y軸,垂足為K,
∵∠CJF=∠AOF,∠CFJ=∠AFO,
∴∠P3CK=∠BAQ,∠CKP3=∠AQB,
∴RtP3CKRtBAQ.
P3K
CK
=
BQ
AQ
=
1
2

∵P3K=2.5
∴CK=5于是OK=1,(13分)
∴P3(2.5,-1).(14分)
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn),頂點(diǎn)為D,且與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E.
(1)求該拋物線(xiàn)的解析式;
(2)求D和E的坐標(biāo),并求四邊形ABDE的面積.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,AB、CD都垂直于x軸,垂足分別為B、D,AD與BC相交于E點(diǎn),已知:A(-2,-6),C(1,-3),一拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)A,E,C三點(diǎn).
(1)求點(diǎn)E的坐標(biāo)及此拋物線(xiàn)的表達(dá)式;
(2)如圖2,如果AB位置不變,將DC向右平移k(k>0)個(gè)單位,求△AEC的面積S關(guān)于k的函數(shù)表達(dá)式;
(3)在第(2)問(wèn)中,是否存在k的值,使AD⊥BC?如果存在,求出k的值;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)(-1,10),(1,4),(2,7)三點(diǎn),求這個(gè)函數(shù)的解析式.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,以△ABC的邊AC為直徑的半圓交AB于D,三邊長(zhǎng)a,b,c能使二次函數(shù)y=
1
2
(c+a)x2-bx+
1
2
(c-a)
的頂點(diǎn)在x軸上,且a是方程z2+z-20=0的一個(gè)根.
(1)證明:∠ACB=90°;
(2)若設(shè)b=2x,弓形面積S弓形AED=S1,陰影部分面積為S2,求(S2-S1)與x的函數(shù)關(guān)系式;
(3)在(2)的條件下,當(dāng)b為何值時(shí),(S2-S1)最大?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

如圖,某中學(xué)生推鉛球,鉛球在點(diǎn)A處出手,在點(diǎn)B處落地,它的運(yùn)行路線(xiàn)滿(mǎn)足y=-
1
12
x2+
2
3
x+
5
3
,則這個(gè)學(xué)生推鉛球的成績(jī)是______米.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,拋物線(xiàn)y=x2+2x-3與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn).
(1)求拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)設(shè)直線(xiàn)y=x+3與y軸的交點(diǎn)是D,在線(xiàn)段AD上任意取一點(diǎn)E(不與A、D重合),經(jīng)過(guò)A、B、E三點(diǎn)的圓交直線(xiàn)AC于點(diǎn)F,試判斷△BEF的形狀.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知二次函數(shù)y=x2+bx+c與x軸交于A(-1,0)、B(1,0)兩點(diǎn).
(1)求這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式;
(2)若有一半徑為r的⊙P,且圓心P在拋物線(xiàn)上運(yùn)動(dòng),當(dāng)⊙P與兩坐標(biāo)軸都相切時(shí),求半徑r的值.
(3)半徑為1的⊙P在拋物線(xiàn)上,當(dāng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)在什么范圍內(nèi)取值時(shí),⊙P與y軸相離、相交?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

數(shù)學(xué)家們通過(guò)長(zhǎng)期的研究,得到了關(guān)于“等周問(wèn)題”的重要結(jié)論:在周長(zhǎng)相同的所有封閉平面曲線(xiàn)中,以圓所圍成的面積最大.
“等周問(wèn)題”雖然較為繁雜,但其根本思想基于下面2個(gè)事實(shí):
事實(shí)1:等周長(zhǎng)n邊形的面積,當(dāng)圖形為正n邊形時(shí),其面積最大;
事實(shí)2:等周長(zhǎng)n邊形的面積,當(dāng)邊數(shù)n越大時(shí),其面積也越大.
為了理解這些事實(shí)的合理性,曙光數(shù)學(xué)小組走出校門(mén)展開(kāi)了下列課題研究.請(qǐng)你幫助他們解決其中的一些問(wèn)題.
現(xiàn)有長(zhǎng)度為100m的籬笆(可彎曲圍成一個(gè)區(qū)域).
(1)如果用籬笆圍成一個(gè)長(zhǎng)方形雞場(chǎng),怎樣圍才能使雞場(chǎng)的面積最大?為什么?
(2)如果用籬笆圍成一個(gè)正五邊形雞場(chǎng),那么與(1)中的正方形雞場(chǎng)比較,哪個(gè)面積更大?請(qǐng)?jiān)谑聦?shí)1的基礎(chǔ)上證明事實(shí)2:“等周長(zhǎng)n邊形的面積,當(dāng)邊數(shù)n越大時(shí),其面積也越大.”
(3)利用事實(shí)1和事實(shí)2,請(qǐng)對(duì)“等周問(wèn)題”的重要結(jié)論作出較為合理的解釋?zhuān)?br>(4)愛(ài)動(dòng)腦筋的小明提出一個(gè)問(wèn)題:如果借用一條充分長(zhǎng)的直墻,將籬笆圍成一個(gè)四邊形雞場(chǎng),為了使雞場(chǎng)的面積盡量大,所圍成的長(zhǎng)方形雞場(chǎng)的長(zhǎng)是寬的2倍(如圖).你覺(jué)得他講的是否有道理?你有沒(méi)有更好的方法,使圍成的四邊形雞場(chǎng)的面積更大?如果有,請(qǐng)說(shuō)明你的方法.

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