Question

8．把兩個(gè)完全相同有一個(gè)角為30°的直角三角板重合在一起，如圖1放置，將△ABC固定，讓△DEC繞直角頂點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一定角度，設(shè)三角板的短直角邊AC的長(zhǎng)度為1個(gè)單位．
解答下列問題：
（1）當(dāng)△DEC旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，交錯(cuò)連接對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)得到△BDC和△AEC，寫出△BDC和△AEC的面積的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）如圖3，若連接誒對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)得到△ACD和△BCE，求證：S_△BCE=3S_△ACD．
（3）如圖2，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α，當(dāng)0°≤α≤180°時(shí)，直接寫出α為多少時(shí)，AE+BD最小，最小值是多少？

Answer 1

分析 （1）結(jié)論：∴△BDC的面積和△AEC的面積相等．如圖①中，作DM⊥BC于M，AN⊥EC于N，由△ACN≌△DCM（AAS），推出AN=DM，由此即可證明．
（2）只要證明△ACD∽△BCE，得$\frac{{S}_{△ACD}}{{S}_{△BCE}}$=（$\frac{CD}{EC}$）²=$\frac{1}{3}$，即可證明．
（3）當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90°時(shí)，點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，AE+BD最小，最小值=2$\sqrt{3}$．

解答 （1）解：結(jié)論：∴△BDC的面積和△AEC的面積相等．如圖①中，
作DM⊥BC于M，AN⊥EC于N．

∵△DEC是由△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到，
∴BC=CE，AC=CD，
∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°-90°=90°，
∴∠ACN=∠DCM，
在△ACN和△DCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACN=∠DCM}\\{∠CMD=∠N=90°}\\{AC=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACN≌△DCM（AAS），
∴AN=DM，
∴△BDC的面積和△AEC的面積相等（等底等高的三角形的面積相等），

（2）證明：如圖③中，

∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
∵$\frac{BC}{AC}$=$\frac{EC}{CD}$=$\sqrt{3}$，
∴△ACD∽△BCE，
∴$\frac{{S}_{△ACD}}{{S}_{△BCE}}$=（$\frac{CD}{EC}$）²=$\frac{1}{3}$，
∴S_△BCE=3S_△ACD．

（3）當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90°時(shí)，點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，AE+BD最小，最小值=2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，等邊三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟練掌握等底等高的三角形的面積相等，以及全等三角形的面積相等是解題的關(guān)鍵，學(xué)會(huì)利用特殊位置解決實(shí)際問題，屬于中考�？碱}型．