Question

6．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=22.5°，斜邊AB的垂直平分線交AC于點D，點F在AC上，點E在BC的延長線上，CE=CF，連接BF，DE．線段DE和BF在數(shù)量和位置上有什么關(guān)系？并說明理由．

Answer 1

分析 連接BD，延長BF交DE于點G，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到AD=BD，求出∠CBD=45°，證明△ECD≌△FCB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可．

解答 解：DE=BF，DE⊥BF．理由如下：
連接BD，延長BF交DE于點G．
∵點D在線段AB的垂直平分線上，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=22.5°．
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠A=22.5°，
∴∠ABC=67.5°，
∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=45°，
∴△BCD為等腰直角三角形，
∴BC=DC．
在△ECD和△FCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=CF}\\{∠DCE=∠BCF}\\{CD=CB}\end{array}\right.$，
∴Rt△ECD≌Rt△FCB（SAS），
∴DE=BF，∠CED=∠CFB．
∵∠CFB+∠CBF=90°，
∴∠CED+∠CBF=90°，
∴∠EGB=90°，即DE⊥BF．

點評 本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．