Question

將一矩形紙片OABC放在平面直角坐標系中，O（0，0），A（6，0），C（0，3）．動點Q從點O出發(fā)以每秒1個單位長的速度沿OC向終點C運動，運動

2

3

秒時，動點P從點A出發(fā)以相等的速度沿AO向終點O運動．當其中一點到達終點時，另一點也停止運動．設(shè)點P的運動時間為t（秒）．
（1）用含t的代數(shù)式表示OP，OQ；
（2）當t=1時，如圖1，將沿△OPQ沿PQ翻折，點O恰好落在CB邊上的點D處，求點D的坐標；
（3）連接AC，將△OPQ沿PQ翻折，得到△EPQ，如圖2．問：PQ與AC能否平行？PE與AC能否垂直？若能，求出相應的t值；若不能，說明理由．

Answer 1

分析：（1）點Q運動的時間比點P多

2

3

秒，則運動的路程也多出了

2

3

．
（2）利用翻折得到的線段長，再利用勾股定理可求得點D的橫坐標，縱坐標和點C的縱坐標相等．
（3）當平行的時候，所截得的線段對應成比例，即可求得時間值．當垂直的時候也要找到一組平行線，得到對應線段成比例看是否在相應的范圍內(nèi)．

解答：解：（1）OP=6-t，OQ=t+

2

3

．


（2）當t=1時，過D點作DD₁⊥OA，交OA于D₁，如圖1，
則DQ=QO=

5

3

，QC=

4

3

，
∴CD=1，
∴D（1，3）．

（3）①PQ能與AC平行．
若PQ∥AC，如圖2，則

OP

OQ

=

OA

OC

，
即

6-t

t+ 2 3

=

6

3

，
∴t=

14

9

，而0≤t≤

7

3

，
∴t=

14

9

．
②PE不能與AC垂直．
若PE⊥AC，延長QE交OA于F，如圖3，
則

QF

AC

=

OQ

OC

，

QF

3 5

=

t+ 2 3

3

，
∴QF=

5

(t+

2

3

)．
∴EF=QF-QE=QF-OQ=

5

(t+

2

3

)-(t+

2

3

)=(

5

-1)t+

2

3

(

5

-1)=（

5

-1）（t+

2

3

），
又∵Rt△EPF∽Rt△OCA，
∴

PE

EF

=

OC

OA

，
∴

6-t

( 5 -1)(t+ 2 3 )

=

3

6

，
∴t≈3.45，而0≤t≤

7

3

，
∴t不存在．

點評：注意使用翻折得到的對應線段相等；當兩條直線平行的時候，所截得的對應線段是成比例的．