(2013•大港區(qū)一模)將一矩形紙片OABC放在直角坐標(biāo)系中,O為原點,C在x軸上,OA=6,OC=10.

(1)如圖(1),在OA上取一點E,將△EOC沿EC折疊,使O點落在AB邊上的D點,求E點的坐標(biāo);
(2)如圖(2),在OA、OC邊上選取適當(dāng)?shù)狞cE′、F,將△E′OF沿E′F折疊,使O點落在AB邊上D′點,過D′作D′G∥AO交E′F于T點,交OC于G點,求證:TG=AE′;
(3)在(2)的條件下,設(shè)T(x,y).①探求:y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.②指出變量x的取值范圍.
分析:(1)先根據(jù)折疊的性質(zhì)得出DC=OC=10,在Rt△BCD中,運用矩形的性質(zhì)及勾股定理得出BD=8,然后在Rt△AED中,由勾股定理得OE2=22+(6-OE)2,解方程求出OE的長,進(jìn)而求出點E的坐標(biāo);
(2)先由折疊的性質(zhì)得出∠D′E′F=∠OE′F,由平行線的性質(zhì)得出∠OE′F=∠D′TE′,則∠D′E′F=∠D′TE′,根據(jù)等角對等邊得到D′T=D′E′=OE′,則TG=AE′;
(3)①由T(x,y),得出AD′=x,TG=AE′=y,D′T=D′E′=OE′=6-y,在Rt△AD′E′中,根據(jù)勾股定理得出AD′2+AE′2=D′E′2,即x2+y2=(6-y)2,整理可求出y與x的函數(shù)關(guān)系式;
②在(1)中給出的情況就是x的最小值的狀況,可根據(jù)AD的長求出x的最小值,當(dāng)x取最大值時,E′F平分∠OAB,即E′與A重合,四邊形AOFD′為正方形,可據(jù)此求出此時x的值,有了x的最大和最小取值即可求出x的取值范圍.
解答:解:(1)如圖(1),∵將△EOC沿EC折疊,使O點落在AB邊上的D點,
∴DC=OC=10.
在Rt△BCD中,∵∠B=90°,BC=OA=6,DC=10,
∴BD=
DC2-BC2
=8.
在Rt△AED中,∵∠DAE=90°,AD=2,DE=OE,AE=6-OE,
∴DE2=AD2+AE2,即OE2=22+(6-OE)2,
解得 OE=
10
3
,
∴E點的坐標(biāo)為(0,
10
3
);

(2)如圖(2),∵將△E′OF沿E′F折疊,使O點落在AB邊上D′點,
∴∠D′E′F=∠OE′F,D′E′=OE′,
∵D′G∥AO,
∴∠OE′F=∠D′TE′,
∴∠D′E′F=∠D′TE′,
∴D′T=D′E′=OE′,
∴TG=AE′;

(3)①∵T(x,y),
∴AD′=x,TG=AE′=y,D′T=D′E′=OE′=6-y.
在Rt△AD′E′中,∵∠D′AE′=90°,
∴AD′2+AE′2=D′E′2,即x2+y2=(6-y)2,
整理,得y=-
1
12
x2+3;

②結(jié)合(1)可得AD′=OG=2時,x最小,從而x≥2,
當(dāng)E′F恰好平分∠OAB時,AD′最大即x最大,
此時G點與F點重合,四邊形AOFD′為正方形,即x最大為6,從而x≤6,
故變量x的取值范圍是2≤x≤6.
點評:本題考查了圖形的翻折變換,矩形的性質(zhì),勾股定理,平行線的性質(zhì),等腰三角形的判定,函數(shù)解析式的求法等知識,綜合性較強,難度適中,主要運用數(shù)形結(jié)合的思想方法.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•大港區(qū)一模)下列圖形中,既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是( 。

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•大港區(qū)一模)據(jù)不完全統(tǒng)計,天津市2011年報名參加九年級學(xué)業(yè)考試總?cè)藬?shù)約為85000人,則85000用科學(xué)記數(shù)法表示為(  )

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•大港區(qū)一模)化簡:
8
12
=
4
6
4
6

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•大港區(qū)一模)計算:
a
a2-b2
-
1
a+b
=
b
a2-b2
b
a2-b2

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•大港區(qū)一模)一個袋中裝有4個珠子,其中2個紅色,2個蘭色,除顏色外其余特征均相同,若從這個袋中任取2個珠子,都是蘭色珠子的概率是
1
6
1
6

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案