將一矩形紙片OABC放在平面直角坐標(biāo)系中,O為頂點(diǎn),點(diǎn)A在x軸上,點(diǎn)C在y軸上,OA=10,OC=8.
(1)如右上圖,在OC邊上取一點(diǎn)D,將△BCD沿BD折疊,使點(diǎn)C恰好落在OA邊上,記作點(diǎn)E.
①求點(diǎn)E的坐標(biāo)及折痕BD的長(zhǎng);
②在x軸上取兩點(diǎn)M,N(點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)),且MN=4.5,求使四邊形BDMN的周長(zhǎng)最短的點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo);
(2)如右下圖,在OC,BC邊上分別取點(diǎn)F,G,將△GCF沿GF折疊,使點(diǎn)C恰好落在OA邊上,記作點(diǎn)H.設(shè)OH=x,四邊形OHGC的面積為S,求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍.
精英家教網(wǎng)
分析:(1)①根據(jù)矩形的性質(zhì)得到BC=OA=10,AB=OC=8,再根據(jù)折疊的性質(zhì)得到BC=BE=10,DC=DE,易得AE=6,則OE=10-6=4,即可得到E點(diǎn)坐標(biāo);在Rt△ODE中,設(shè)DE=x,則OD=OC-DC=OC-DE=8-x,利用勾股定理可計(jì)算出x,再在Rt△BDE中,利用勾股定理計(jì)算出BD;
②以D、M、N為頂點(diǎn)作平行四邊形DMND′,作出點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)B′,則易得到B′的坐標(biāo),D′的坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法求出直線D′B′的解析式,令y=0,得-2x+12=0,確定N點(diǎn)坐標(biāo),也即可得到M點(diǎn)坐標(biāo).
(2)過點(diǎn)H作HM⊥BC于M,則MG=HG-x,從而在RT△HMG中可用x表示出HG的長(zhǎng),利用梯形的面積公式可用x表示出y,點(diǎn)F與點(diǎn)O重合時(shí)是OH取得最大值的點(diǎn),從而可得出自變量的范圍.
解答:解:(1)①∵四邊形OABC為矩形,
∴BC=OA=10,AB=OC=8,
∵△BCD沿BD折疊,使點(diǎn)C恰好落在OA邊E點(diǎn)上,
∴BC=BE=10,DC=DE,
在Rt△ABE中,BE=10,AB=8,
∴AE=6,
∴OE=10-6=4,
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0);
在Rt△ODE中,設(shè)DE=x,則OD=OC-DC=OC-DE=8-x,
∴x2=42+(8-x)2,解得x=5,
在Rt△BDE中,
BD=
52+102
=5
5


②以D、M、N為頂點(diǎn)作平行四邊形DMND′,作出點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)B′,如圖:
精英家教網(wǎng)∴B′的坐標(biāo)為(10,-8),DD′=MN=4.5,
∴D′的坐標(biāo)為(4.5,3),
設(shè)直線D′B′的解析式為y=kx+b,
把B′(10,-8),D′(4.5,3)代入得
10k+b=-8,4.5k+b=3,
解得k=-2,b=12,
∴直線D′B′的解析式為y=-2x+12,
令y=0,得-2x+12=0,解得x=6,
∴M(1.5,0);N(6,0).

(2)過點(diǎn)H作HM⊥BC于M,則MG=HG-x,
精英家教網(wǎng)∵△GCF沿GF折疊得到△GHF,
∴HG=CG,故MG可表示為CG-x,
在Rt△HMG中,HG2=MG2+MH2,即HG2=(CG-x)2+64,
解得:CG=
64+x2
2x
,
∴SOHGC=
1
2
(CG+OH)•OC=
6x2+128
x
,即y=
6x2+128
x
,
點(diǎn)F與點(diǎn)O重合點(diǎn)G與點(diǎn)B重合、點(diǎn)F與點(diǎn)O重合分別是點(diǎn)F的兩個(gè)極限,
1、點(diǎn)G與點(diǎn)B重合時(shí),由①的結(jié)論可得,此時(shí)OH=4,
2、點(diǎn)F與點(diǎn)O重合時(shí),OH=8,
綜上可得:y=
6x2+128
x
,(4<x<8).
點(diǎn)評(píng):本題考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)及最短路徑的知識(shí),綜合性較強(qiáng),難度較大,注意掌握折疊前后兩圖形全等,即對(duì)應(yīng)線段相等,對(duì)應(yīng)角相等,在(2)求自變量范圍的時(shí)候,要注意尋找極限點(diǎn),不要想當(dāng)然的判斷.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

將一矩形紙片OABC放在平面直角坐標(biāo)系中,O(0,0),A(6,0),C(0,3).動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度沿OC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)
23
秒時(shí),動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以相等的速度沿AO向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng).當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(秒).
(1)用含t的代數(shù)式表示OP,OQ;
(2)當(dāng)t=1時(shí),如圖1,將沿△OPQ沿PQ翻折,點(diǎn)O恰好落在CB邊上的點(diǎn)D處,求點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)連接AC,將△OPQ沿PQ翻折,得到△EPQ,如圖2.問:PQ與AC能否平行?PE與AC能否垂直?若能,求出相應(yīng)的t值;若不能,說明理由.
精英家教網(wǎng)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

將一矩形紙片OABC放在平面直角坐標(biāo)系中,O為原點(diǎn),點(diǎn)A在x軸上,點(diǎn)C在y軸上,OA=10,精英家教網(wǎng)OC=8,如圖在OC邊上取一點(diǎn)D,將△BCD沿BD折疊,使點(diǎn)C恰好落在OA邊上,記作E點(diǎn);
(1)求點(diǎn)E的坐標(biāo)及折痕DB的長(zhǎng);
(2)在x軸上取兩點(diǎn)M、N(點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)),且MN=4.5,求使四邊形BDMN的周長(zhǎng)最短的點(diǎn)M、點(diǎn)N的坐標(biāo).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

將一矩形紙片OABC放在直角坐標(biāo)系中,O為原點(diǎn),C在x軸上,OA=6,OC=10.精英家教網(wǎng)
(1)如圖(1),在OA上取一點(diǎn)E,將△EOC沿EC折疊,使O點(diǎn)落在AB邊上的D點(diǎn),求E點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)如圖(2),在OA、OC邊上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)E′、F,將△E′OF沿E′F折疊,使O點(diǎn)落在AB邊上的D′點(diǎn),過D′作D′G⊥C′O交E′F于T點(diǎn),交OC′于G點(diǎn),求證:TG=A′E′.
(3)在(2)的條件下,設(shè)T(x,y)①探求:y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.②指出變量x的取值范圍.
(4)如圖(3),如果將矩形OABC變?yōu)槠叫兴倪呅蜲A″B″C″,使O C″=10,O C″邊上的高等于6,其它條件均不變,探求:這時(shí)T(x,y)的坐標(biāo)y與x之間是否仍然滿足(3)中所得的函數(shù)關(guān)系,若滿足,請(qǐng)說明理由;若不滿足,寫出你認(rèn)為正確的函數(shù)關(guān)系式.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•大港區(qū)一模)將一矩形紙片OABC放在直角坐標(biāo)系中,O為原點(diǎn),C在x軸上,OA=6,OC=10.

(1)如圖(1),在OA上取一點(diǎn)E,將△EOC沿EC折疊,使O點(diǎn)落在AB邊上的D點(diǎn),求E點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)如圖(2),在OA、OC邊上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)E′、F,將△E′OF沿E′F折疊,使O點(diǎn)落在AB邊上D′點(diǎn),過D′作D′G∥AO交E′F于T點(diǎn),交OC于G點(diǎn),求證:TG=AE′;
(3)在(2)的條件下,設(shè)T(x,y).①探求:y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.②指出變量x的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案