Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的對(duì)稱軸為y軸，且經(jīng)過(guò)（0，0）和（，）兩點(diǎn)，點(diǎn)P在該拋物線上運(yùn)動(dòng)，以點(diǎn)P為圓心的⊙P總經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A（0，2）．
（1）求a，b，c的值；
（2）求證：在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，⊙P始終與x軸相交；
（3）設(shè)⊙P與x軸相交于M（x₁，0），N（x₂，0）（x₁＜x₂）兩點(diǎn)，當(dāng)△AMN為等腰三角形時(shí)，求圓心P的縱坐標(biāo)．

Answer 1

（1）a=，b=c=0；（2）證明見(jiàn)解析；（3）P的縱坐標(biāo)為0或4+2或4﹣2．

解析試題分析：（1）根據(jù)題意得出二次函數(shù)一般形式進(jìn)而將已知點(diǎn)代入求出a，b，c的值即可；
（2）設(shè)P（x，y），表示出⊙P的半徑r，進(jìn)而與x²比較得出答案即可；
（3）分別表示出AM，AN的長(zhǎng)，進(jìn)而分別利用當(dāng)AM=AN時(shí)，當(dāng)AM=MN時(shí)，當(dāng)AN=MN時(shí)，求出a的值，進(jìn)而得出圓心P的縱坐標(biāo)即可．
試題解析：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的對(duì)稱軸為y軸，且經(jīng)過(guò)（0，0）和（，）兩點(diǎn)，
∴拋物線的一般式為：y=ax²，
∴=a（）²，
解得：a=±，
∵圖象開(kāi)口向上，∴a=，
∴拋物線解析式為：y=x²，
故a=，b=c=0；
（2）設(shè)P（x，y），⊙P的半徑r=，
又∵y=x²，則r=，
化簡(jiǎn)得：r=＞x²，
∴點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，⊙P始終與x軸相交；
（3）設(shè)P（a，a²），∵PA=，
作PH⊥MN于H，則PM=PN=，
又∵PH=a²，
則MH=NH==2，
故MN=4，
∴M（a﹣2，0），N（a+2，0），
又∵A（0，2），∴AM=，AN=，
當(dāng)AM=AN時(shí)，=，
解得：a=0，
當(dāng)AM=MN時(shí)，=4，
解得：a=2±2（負(fù)數(shù)舍去），則a²=4+2；
當(dāng)AN=MN時(shí)，=4，
解得：a=﹣2±2（負(fù)數(shù)舍去），則a²=4﹣2；
綜上所述，P的縱坐標(biāo)為0或4+2或4﹣2．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．