Question

已知拋物線y=x²﹣（k+2）x+和直線y=（k+1）x+（k+1）²．
（1）求證：無論k取何實數值，拋物線總與x軸有兩個不同的交點；
（2）拋物線于x軸交于點A、B，直線與x軸交于點C，設A、B、C三點的橫坐標分別是x₁、x₂、x₃，求x₁•x₂•x₃的最大值；
（3）如果拋物線與x軸的交點A、B在原點的右邊，直線與x軸的交點C在原點的左邊，又拋物線、直線分別交y軸于點D、E，直線AD交直線CE于點G（如圖），且CA•GE=CG•AB，求拋物線的解析式．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）；（3）y=x²﹣4x+3．

解析試題分析：（1）由判別式△=（k+2）²﹣4×1×=k²﹣k+2=（k﹣）²+＞0，即可證得無論k取何實數值，拋物線總與x軸有兩個不同的交點；
（2）由拋物線于x軸交于點A、B，直線與x軸交于點C，設A、B、C三點的橫坐標分別是x₁、x₂、x₃，可得x₁•x₂=，x₃=﹣（k+1），繼而可求得答案；
（3）由CA•GE=CG•AB，易得△CAG∽△CBE，繼而可證得△OAD∽△OBE，則可得，又由拋物線與x軸的交點A、B在原點的右邊，直線與x軸的交點C在原點的左邊，又拋物線、直線分別交y軸于點D、E，可得OA•OB=，OD=，OE=（k+1）²，繼而求得點B的坐標為（0，k+1），代入解析式即可求得答案．
試題解析：（1）證明：∵△=（k+2）²﹣4×1×=k²﹣k+2=（k﹣）²+，
∵（k﹣）²≥0，
∴△＞0，
∴無論k取何實數值，拋物線總與x軸有兩個不同的交點；
（2）解：∵拋物線于x軸交于點A、B，直線與x軸交于點C，設A、B、C三點的橫坐標分別是x₁、x₂、x₃，
∴x₁•x₂=，
令0=（k+1）x+（k+1）²，
解得：x=﹣（k+1），
即x₃=﹣（k+1），
∴x₁•x₂•x₃=﹣（k+1）•=﹣（k+）²+，
∴x₁•x₂•x₃的最大值為；
（3）解：∵CA•GE=CG•AB，
∴，
∵∠ACG=∠BCE，
∴△CAG∽△CBE，
∴∠CAG=∠CBE，
∵∠AOD=∠BOE，
∴△OAD∽△OBE，
∴，
∵拋物線與x軸的交點A、B在原點的右邊，直線與x軸的交點C在原點的左邊，又拋物線、直線分別交y軸于點D、E，
∴OA•OB=，OD=，OE=（k+1）²，
∴OA•OB=OD，
∴，
∴OB²=OE，
∴OB=k+1，
∴點B（k+1，0），
將點B代入拋物線y=x²﹣（k+2）x+得：（k+1）²﹣（k+2）（k+1）﹣=0，
解得：k=2，
∴拋物線的解析式為：y=x²﹣4x+3．
考點：二次函數綜合題