如圖甲,四邊形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上,頂點(diǎn)在B點(diǎn)的拋物線交x軸于點(diǎn)A、D,交y軸于點(diǎn)E,連結(jié)AB、AE、BE.已知tan∠CBE=,A(3,0),D(-1,0),E(0,3).
(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)求證:CB是△ABE外接圓的切線;
(3)試探究坐標(biāo)軸上是否存在一點(diǎn)P,使以D、E、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABE相似,若存在,直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由;
(4)設(shè)△AOE沿x軸正方向平移t個(gè)單位長度(0<t≤3)時(shí),△AOE與△ABE重疊部分的面積為s,求s與t之間的函數(shù)關(guān)系式,并指出t的取值范圍.

(1)y=-x2+2x+3.B(1,4).(2)證明見解析;(3)P1(0,0),P2(9,0),P3(0,-).(4)s=.

解析試題分析:(1)利用兩根式列出二次函數(shù)解析式y(tǒng)=a(x-3)(x+1),把將E(0,3)代入即可求出a的值,繼而可求頂點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)過點(diǎn)B作BM⊥y于點(diǎn)M,利用已知條件先證明AB是△ABE外接圓的直徑.再證CB⊥AB即可.
(3)存在;
(4)分兩種情況進(jìn)行討論即可.
試題解析:(1)解:由題意,設(shè)拋物線解析式為y=a(x-3)(x+1).
將E(0,3)代入上式,解得:a=-1.
∴y=-x2+2x+3.
則點(diǎn)B(1,4).
(2)如圖,證明:過點(diǎn)B作BM⊥y于點(diǎn)M,則M(0,4).
在Rt△AOE中,OA=OE=3,
∴∠1=∠2=45°,AE==3
在Rt△EMB中,EM=OM-OE=1=BM,
∴∠MEB=∠MBE=45°,BE==
∴∠BEA=180°-∠1-∠MEB=90°.
∴AB是△ABE外接圓的直徑.
在Rt△ABE中,tan∠BAE===tan∠CBE,
∴∠BAE=∠CBE.
在Rt△ABE中,∠BAE+∠3=90°,
∴∠CBE+∠3=90°.
∴∠CBA=90°,即CB⊥AB.
∴CB是△ABE外接圓的切線.

(3)P1(0,0),P2(9,0),P3(0,-).
(4)解:設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b.
將A(3,0),B(1,4)代入,得解得
∴y=-2x+6.
過點(diǎn)E作射線EF∥x軸交AB于點(diǎn)F,當(dāng)y=3時(shí),得x=,
∴F(,3).
情況一:如圖7,當(dāng)0<t≤時(shí),設(shè)△AOE平移到△DNM的位置,MD交AB于點(diǎn)H,MN交AE于點(diǎn)G.
則ON=AD=t,過點(diǎn)H作LK⊥x軸于點(diǎn)K,交EF于點(diǎn)L.
由△AHD∽△FHM,得.即.解得HK=2t.
∴S=S△MND-S△GNA-S△HAD=×3×3-(3-t)2-t·2t=-t2+3t.

情況二:如圖8,當(dāng)<t≤3時(shí),設(shè)△AOE平移到△PQR的位置,PQ交AB于點(diǎn)I,交AE于點(diǎn)V.由△IQA∽△IPF,得.即.解得IQ=2(3-t).
∴S陰=S△IQA-S△VQA=×(3-t)×2(3-t)-(3-t)2=(3-t)2=t2-3t+
綜上所述:s=.
考點(diǎn):二次函數(shù)綜合題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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如圖,一條拋物線(m<0)與x軸相交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)).若點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為(0,—2)、(4,0),拋物線與直線MN始終有交點(diǎn),線段AB的長度的最小值為            

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某商店銷售一種商品,每件的進(jìn)價(jià)為2.5元,根據(jù)市場調(diào)查,銷售量與銷售單價(jià)滿足如下關(guān)系:在一段時(shí)間內(nèi),單價(jià)是13.5元時(shí),銷售量為500件,而單價(jià)每降低1元,就可以多售出200件.請(qǐng)你分析,銷售單價(jià)多少時(shí),可以獲利最大?

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如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx(a<0)的圖象過坐標(biāo)原點(diǎn)O,與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A,過A點(diǎn)的直線與y軸交于B,與二次函數(shù)的圖象交于另一點(diǎn)C,且C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣1,AC:BC=3:1.
(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo);
(2)設(shè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為F,其對(duì)稱軸與直線AB及x軸分別交于點(diǎn)D和點(diǎn)E,若△FCD與△AED相似,求此二次函數(shù)的關(guān)系式.

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銳角中,,,兩動(dòng)點(diǎn)分別在邊上滑動(dòng),且,以為邊向下作正方形,設(shè)其邊長為,正方形公共部分的面積為
(1)中邊上高         ;
(2)當(dāng)        時(shí),恰好落在邊上(如圖1);
(3)當(dāng)外部時(shí)(如圖2),求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式(注明的取值范圍),并求出為何值時(shí)最大,最大值是多少?

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如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0)的對(duì)稱軸為y軸,且經(jīng)過(0,0)和(,)兩點(diǎn),點(diǎn)P在該拋物線上運(yùn)動(dòng),以點(diǎn)P為圓心的⊙P總經(jīng)過定點(diǎn)A(0,2).
(1)求a,b,c的值;
(2)求證:在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中,⊙P始終與x軸相交;
(3)設(shè)⊙P與x軸相交于M(x1,0),N(x2,0)(x1<x2)兩點(diǎn),當(dāng)△AMN為等腰三角形時(shí),求圓心P的縱坐標(biāo).

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如圖,拋物線y=-x2+x-2交x軸于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),交y軸于點(diǎn)C,分別過點(diǎn)B,C作y軸,x軸的平行線,兩平行線交于點(diǎn)D,將△BDC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),使點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到y(tǒng)軸上得到△FEC,連接BF.
(1)求點(diǎn)B,C所在直線的函數(shù)解析式;
(2)求△BCF的面積;
(3)在線段BC上是否存在點(diǎn)P,使得以點(diǎn)P,A,B為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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如圖,拋物線y=﹣x2+mx+n與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D,已知A(﹣1,0),C(0,2).
(1)求拋物線的表達(dá)式;
(2)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P,使△PCD是以CD為腰的等腰三角形?如果存在,直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說明理由;
(3)點(diǎn)E時(shí)線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)E作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)F,當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),四邊形CDBF的面積最大?求出四邊形CDBF的最大面積及此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo).

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復(fù)習(xí)課中,教師給出關(guān)于x的函數(shù)(k是實(shí)數(shù)).
教師:請(qǐng)獨(dú)立思考,并把探索發(fā)現(xiàn)的與該函數(shù)有關(guān)的結(jié)論(性質(zhì))寫到黑板上.
學(xué)生思考后,黑板上出現(xiàn)了一些結(jié)論.教師作為活動(dòng)一員,又補(bǔ)充一些結(jié)論,并從中選擇如下四條:
①存在函數(shù),其圖像經(jīng)過(1,0)點(diǎn);
②函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸總有三個(gè)不同的交點(diǎn);
③當(dāng)時(shí),不是y隨x的增大而增大就是y隨x的增大而減;
④若函數(shù)有最大值,則最大值必為正數(shù),若函數(shù)有最小值,則最小值必為負(fù)數(shù);
教師:請(qǐng)你分別判斷四條結(jié)論的真假,并給出理由,最后簡單寫出解決問題時(shí)所用的數(shù)學(xué)方法.

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