己知:二次函數(shù)y=ax2+bx+6(a≠0)與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))點(diǎn)
A、點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是一元二次方程x2-4x-12=0的兩個(gè)根.
(1)請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo).
(2)請(qǐng)求出該二次函數(shù)表達(dá)式及對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo).
(3)如圖1,在二次函數(shù)對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P,使△APC的周長(zhǎng)最小,若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(4)如圖2,連接AC、BC,點(diǎn)Q是線段0B上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)Q不與點(diǎn)0、B重合).過(guò)點(diǎn)Q作QD∥AC交BC于點(diǎn)D,設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)(m,0),當(dāng)△CDQ面積S最大時(shí),求m的值.
(1)A(-2,0),B(6,0);(2) y=-x2+2x+6,拋物線對(duì)稱軸為x=2,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,8);(3) P(2,4);(4)2.
解析試題分析:(1)解一元二次方程x2-4x-12=0可求A、B兩點(diǎn)坐標(biāo);
(2)將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)y=ax2+bx+6,可求二次函數(shù)解析式,配方為頂點(diǎn)式,可求對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo);
(3)作點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)C′,連接AC′,交拋物線對(duì)稱軸于P點(diǎn),連接CP,P點(diǎn)即為所求;
(4)由DQ∥AC得△BDQ∽△BCA,利用相似比表示△BDQ的面積,利用三角形面積公式表示△ACQ的面積,根據(jù)S△CDQ=S△ABC-S△BDQ-S△ACQ,運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)求面積最大時(shí),m的值.
試題解析:(1)A(-2,0),B(6,0);
(2)將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)y=ax2+bx+6,得
,
解得,
∴y=-x2+2x+6,
∵y=-(x-2)2+8,
∴拋物線對(duì)稱軸為x=2,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,8);
(3)如圖,作點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)C′,連接AC′,交拋物線對(duì)稱軸于P點(diǎn),連接CP,
∵C(0,6),
∴C′(4,6),
設(shè)直線AC′解析式為y=ax+b,則
,
解得,
∴y=x+2,當(dāng)x=2時(shí),y=4,
即P(2,4);
(4)依題意,得AB=8,QB=6-m,AQ=m+2,OC=6,則S△ABC=AB×OC=24,
∵由DQ∥AC,∴△BDQ∽△BCA,
∴
即S△BDQ=,
又S△ACQ=AQ×OC=3m+6,
∴S=S△ABC-S△BDQ-S△ACQ=24--(3m+6)=-m2+m+=-(m-2)2+6,
∴當(dāng)m=2時(shí),S最大.
考點(diǎn):二次函數(shù)綜合題.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知關(guān)于x的方程mx2﹣3(m+1)x+2m+3=0.
(1)求證:無(wú)論m取任何實(shí)數(shù),該方程總有實(shí)數(shù)根;
(2)若m≠0,拋物線y=mx2﹣3(m+1)x+2m+3與x軸的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離小于2,且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是整數(shù),求m的整數(shù)值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0)的對(duì)稱軸為y軸,且經(jīng)過(guò)(0,0)和(,)兩點(diǎn),點(diǎn)P在該拋物線上運(yùn)動(dòng),以點(diǎn)P為圓心的⊙P總經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A(0,2).
(1)求a,b,c的值;
(2)求證:在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,⊙P始終與x軸相交;
(3)設(shè)⊙P與x軸相交于M(x1,0),N(x2,0)(x1<x2)兩點(diǎn),當(dāng)△AMN為等腰三角形時(shí),求圓心P的縱坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知拋物線y=ax2+x+c(a≠0)經(jīng)過(guò)A(﹣1,0),B(2,0)兩點(diǎn),與y軸相交于點(diǎn)C,該拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)M,對(duì)稱軸與BC相交于點(diǎn)N,與x軸交于點(diǎn)D.
(1)求該拋物線的解析式及點(diǎn)M的坐標(biāo);
(2)連接ON,AC,證明:∠NOB=∠ACB;
(3)點(diǎn)E是該拋物線上一動(dòng)點(diǎn),且位于第一象限,當(dāng)點(diǎn)E到直線BC的距離為時(shí),求點(diǎn)E的坐標(biāo);
(4)在滿足(3)的條件下,連接EN,并延長(zhǎng)EN交y軸于點(diǎn)F,E、F兩點(diǎn)關(guān)于直線BC對(duì)稱嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,拋物線y=﹣x2+mx+n與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D,已知A(﹣1,0),C(0,2).
(1)求拋物線的表達(dá)式;
(2)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P,使△PCD是以CD為腰的等腰三角形?如果存在,直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)點(diǎn)E時(shí)線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)F,當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),四邊形CDBF的面積最大?求出四邊形CDBF的最大面積及此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知拋物線與x軸交點(diǎn)為A、B(點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C.
(1)試用含m的代數(shù)式表示A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)當(dāng)點(diǎn)B在原點(diǎn)的右側(cè),點(diǎn)C在原點(diǎn)的下方時(shí),若是等腰三角形,求拋物線的解析式;
(3)已知一次函數(shù),點(diǎn)P(n,0)是x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),在(2)的條件下,過(guò)點(diǎn)P作垂直于x軸的直線交這個(gè)一次函數(shù)的圖象于點(diǎn)M,交拋物線于點(diǎn)N,若只有當(dāng)時(shí),點(diǎn)M位于點(diǎn)N的下方,求這個(gè)一次函數(shù)的解析式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,拋物線y=ax2 + bx + c 交x軸于A、B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C,對(duì)稱軸為直線x=1,已知:A(-1,0)、C(0,-3)。
(1)求拋物線y= ax2 + bx + c 的解析式;
(2)求△AOC和△BOC的面積比;
(3)在對(duì)稱軸上是否存在一個(gè)P點(diǎn),使△PAC的周長(zhǎng)最小。若存在,請(qǐng)你求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)你說(shuō)明理由。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知拋物線與x軸交于點(diǎn)、C,與y軸交于點(diǎn)B(0,3),拋物線的頂點(diǎn)為p。
(1)求拋物線的解析式;
(2)若拋物線向下平移k個(gè)單位后經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-5,6)。
①求k的值及平移后拋物線所對(duì)應(yīng)函數(shù)的最小值;
②設(shè)平移后拋物線與y軸交于點(diǎn)D,頂點(diǎn)為Q,點(diǎn)M是平移后的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。請(qǐng)?zhí)骄浚寒?dāng)點(diǎn)M在何處時(shí),△MBD的而積是△MPQ面積的2倍?求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
某賓館有30個(gè)房間供游客住宿,當(dāng)每個(gè)房間的房?jī)r(jià)為每天120元時(shí),房間會(huì)全部住滿.當(dāng)每個(gè)房間每天的房?jī)r(jià)每增加10元時(shí),就會(huì)有一個(gè)房間空閑.賓館需對(duì)游客居住的每個(gè)房間每天支出20元的各種費(fèi)用.根據(jù)規(guī)定,每個(gè)房間每天的房?jī)r(jià)不得高于210元.設(shè)每個(gè)房間的房?jī)r(jià)增加x元(x為10的正整數(shù)倍).
(1)設(shè)一天訂住的房間數(shù)為y,直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍;
(2)設(shè)賓館一天的利潤(rùn)為w元,求w與x的函數(shù)關(guān)系式;
(3)一天訂住多少個(gè)房間時(shí),賓館的利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少元?
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