Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)D為函數(shù)y=

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x

（x＞0）上 的一點(diǎn)，四邊形ABCD是直角梯形（點(diǎn)B在坐標(biāo)原點(diǎn)處），AD∥BC，∠B=90°，A（0，3），C（4，0），點(diǎn)P從A出發(fā)，以3個(gè)單位/秒的速度沿直線AD向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，以1個(gè)單位/秒的速度沿直線CB向左運(yùn)動(dòng)．
（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）從運(yùn)動(dòng)開始，經(jīng)過多少時(shí)間以點(diǎn)P、Q、C、D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？
（3）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=

2

3

秒時(shí)，在y軸上找一點(diǎn)M，使得△PCM是以PC為底的等腰三角形時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為3，把y=3代入反比例函數(shù)的解析式，求得x的值，則D的坐標(biāo)可以得到；
（2）P、Q、C、D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，則PD=CQ，據(jù)此即可列出方程，求得t的值；
（3）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=

2

3

秒時(shí)，首先求得P、Q的坐標(biāo)，根據(jù)△PMC是以PC為底的等腰三角形，即可列出方程，求得M的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為3，∴3=

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x

，
∴x=6，
∴D（6，3）
（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則AP=3t，PD=|6-3t|，CQ=t．
∵PD∥CQ，故當(dāng)PD=CQ時(shí)，可得平行四邊形，
∴|6-3t|=t，
則6-3t=t，或6-3t=-t．
∴t=1.5秒或3秒．
（3）當(dāng)t=

2

3

s時(shí)，AP=

2

3

×3=2，P為（2，3）．
設(shè)M（0，y），則MC²=OM²+OC²=4²+y²，PM²=PA²+AM²=2²+（3-y）²
PC²=PE²+CE²=3²+2²
∵△PMC是以PC為底的等腰三角形
則MC=PM，則4²+y²=2²+（3-y）²，y=-

1

2

；
∴當(dāng)M的坐標(biāo)為（0，-

1

2

）

點(diǎn)評(píng)：本題是反比例函數(shù)、等腰三角形的性質(zhì)、以及平行四邊形的判定的綜合應(yīng)用，正確理解方程思想是解題的關(guān)鍵．